Seja
. Calcule
e
. Represente essas probabilidades num gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as probabilidades de um valor aleatório
que segue uma distribuição normal padrão
estar dentro de certos intervalos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, especialmente a função de distribuição acumulada (CDF). Também vamos representar essas probabilidades em um gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média 0 e variância 1. A distribuição normal é aquela famosa em forma de sino, simétrica em torno da média.
Passo 3
Para calcular as probabilidades
,
e
, vamos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por
. Essa função nos dá a probabilidade de
ser menor ou igual a um certo valor
.
Passo 4
A probabilidade de
estar entre dois valores pode ser encontrada subtraindo as probabilidades acumuladas. Ou seja,
Como a distribuição é simétrica, podemos simplificar para intervalos centrados na média:
Passo 5
Vamos calcular cada uma das probabilidades:
-
Para
: Consultando a tabela da normal padrão,. Então, -
Para
: Com, -
Para
: Onde,
Passo 6
Agora, para representar essas probabilidades em um gráfico, podemos desenhar a curva da distribuição normal padrão e sombrear as áreas correspondentes a cada intervalo:
- Para
: Sombreie a região entre -2 e 2. - Para
: Sombreie a região entre -1 e 1. - Para
: Sombreie a região entre -1,5 e 1,5.
Cada região sombreada representa a probabilidade calculada.
Resposta
As probabilidades são: