Seja X sim N(0,1). Calcule P(-2 <= X <= 2), P(-1 <= X <= 1) e P(-1,5 <= X <= 1,5). Represente essas probabilidades num gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as probabilidades de um valor aleatório que segue uma distribuição normal padrão estar dentro de certos intervalos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, especialmente a função de distribuição acumulada (CDF). Também vamos representar essas probabilidades em um gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média 0 e variância 1. A distribuição normal é aquela famosa em forma de sino, simétrica em torno da média.

Passo 3

Para calcular as probabilidades , e , vamos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por . Essa função nos dá a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor .

Passo 4

A probabilidade de P(a <= X <= b) = Phi(b) - Phi(a) estar entre dois valores pode ser encontrada subtraindo as probabilidades acumuladas. Ou seja,
P(-a <= X <= a) = 2Phi(a) - 1
Como a distribuição é simétrica, podemos simplificar para intervalos centrados na média:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
  1. Para P(-2 <= X <= 2) = 2Phi(2) - 1 :
    2 times 0,9772 - 1 = 0,9544 ou 95,44%
    Consultando a tabela da normal padrão, P(-1 <= X <= 1) = 2Phi(1) - 1 .
    Então,
    2 times 0,8413 - 1 = 0,6826 ou 68,26%
  2. Para P(-1,5 <= X <= 1,5) = 2Phi(1,5) - 1 :
    2 times 0,9332 - 1 = 0,8664 ou 86,64%
    Com ,
  3. Para :
    Onde ,

Passo 6

Agora, para representar essas probabilidades em um gráfico, podemos desenhar a curva da distribuição normal padrão e sombrear as áreas correspondentes a cada intervalo:
  • Para : Sombreie a região entre -2 e 2.
  • Para : Sombreie a região entre -1 e 1.
  • Para : Sombreie a região entre -1,5 e 1,5.
Cada região sombreada representa a probabilidade calculada.

Resposta

As probabilidades são:
P(-2 <= X <= 2) approx 95,44%
P(-1 <= X <= 1) approx 68,26%
P(-1,5 <= X <= 1,5) approx 86,64%

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