Suponha que o erro de medição de um instrumento de laboratório siga uma distribuição normal com média zero e desvio padrão de 0,5. Calcule a probabilidade de que o erro de medição esteja dentro de [-1,1].
Solução. Para X sim N(0,0.5^2), queremos calcular P(-1 <= X <= 1).
P(-1 <= X <= 1)=P(-1-00.5 <= Z <= 1-00.5)=P(-2 <= Z <= 2)
Usando a tabela da distribuição normal padrão, P(-2 <= Z <= 2) approx 0.9544.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o erro de medição de um instrumento segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 0,5. A missão é descobrir qual é a probabilidade desse erro ficar entre -1 e 1. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a distribuição normal. Ela é uma das mais importantes na estatística e é aquela “curva em formato de sino”. Aqui, nossa variável representa o erro de medição, e ela segue , onde (média) e (desvio padrão).

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de estar entre -1 e 1, ou seja, . Para facilitar, vamos padronizar essa variável. Isso significa transformar em uma variável z que segue a distribuição normal padrão .

Passo 4

A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Como Z = X0,5 = 2X e P(-1 <= X <= 1) = P(-10,5 <= Z <= 10,5) = P(-2 <= Z <= 2) , fica:
Então, queremos:

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar P(-2 <= Z <= 2) = 2 times P(0 <= Z <= 2) . Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
2 times 0,4772 = 0,9544
Consultando a tabela, é aproximadamente 0,4772. Multiplicando:

Resposta

A probabilidade de o erro de medição estar entre -1 e 1 é de aproximadamente 95,44%.

Exercícios relacionados