Seja X sim N(5,9). Determine P(X>8).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média igual a 5 e variância igual a 9, ou seja, . O objetivo é determinar a probabilidade de ser maior que 8, representada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e calcular áreas sob a curva dessa distribuição.

Passo 2

A distribuição normal é simétrica e está completamente definida pela sua média ( ) e variância ( ). No nosso caso, e , então o desvio padrão é 3. Queremos encontrar a probabilidade de ser maior que 8.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, usamos a padronização da variável Z = X - musigma . Isso significa converter Z = 8 - 53 = 33 = 1 para uma variável que segue a distribuição normal padrão ( ). A fórmula da padronização é:
Substituindo os valores, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Essa é a área à direita de na curva da distribuição normal padrão. Podemos usar tabelas da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar essa área.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587 é aproximadamente 0,8413. Como a distribuição é simétrica e a área total é 1, a probabilidade de é:

Resposta

Portanto, a probabilidade de ser maior que 8 é aproximadamente 0,1587 ou 15,87%.

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