Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, , e . Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Determine a função de probabilidade da variável aleatória , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar três moedas que não são justas, ou seja, cada uma tem uma probabilidade diferente de dar cara. Nosso objetivo é descobrir a função de probabilidade da variável aleatória , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos nesses lançamentos. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os possíveis resultados ao lançar as três moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K). Como são três moedas, temos:
çõí
Vamos listar todas elas e calcular a diferença entre o número de caras e coroas para cada caso.

Passo 3

Vamos listar todas as 8 combinações possíveis e calcular úú:
  1. CCC: 3 caras, 0 coroas
  2. CCK: 2 caras, 1 coroa
  3. CKC: 2 caras, 1 coroa
  4. KCC: 2 caras, 1 coroa
  5. CKK: 1 cara, 2 coroas
  6. KCK: 1 cara, 2 coroas
  7. KKc: 1 cara, 2 coroas
  8. KKK: 0 caras, 3 coroas

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Como as moedas são lançadas de forma independente, a probabilidade de uma combinação específica é o produto das probabilidades individuais de cada moeda.
As probabilidades de dar cara são:
  • Coin 1:
  • Coin 2:
  • Coin 3:
E, consequentemente, as probabilidades de dar coroa são:
  • Coin 1:
  • Coin 2:
  • Coin 3:

Passo 5

Vamos agora calcular a probabilidade de cada combinação:
  1. CCC:
  1. CCK:
  1. CKC:
  1. KCC:
  1. CKK:
  1. KCK:
  1. KKC:
  1. KKK:

Passo 6

Agora que temos as probabilidades de cada combinação e os valores de correspondentes, vamos agrupar as probabilidades por cada valor de :
  • :
    • :
  • :
    • :
    • :
    • :
    • Total:
  • :
    • :
    • :
    • :
    • Total:
  • :
    • :

Passo 7

Finalmente, vamos simplificar as frações para facilitar a compreensão:
  • :
  • :
  • :
  • :
ã

Resposta

A função de probabilidade da variável aleatória é:
á

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Sejam e variáveis aleatória independentes. Calcular .
Sejam e v.a independentes. Se . Calcular .
Seja tal que e . Determinar e .