Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Determine a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar três moedas que não são justas, ou seja, cada uma tem uma probabilidade diferente de dar cara. Nosso objetivo é descobrir a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos nesses lançamentos. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os possíveis resultados ao lançar as três moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K). Como são três moedas, temos:
Vamos listar todas elas e calcular a diferença entre o número de caras e coroas para cada caso.
Passo 3
Vamos listar todas as 8 combinações possíveis e calcular
:
- CCC: 3 caras, 0 coroas
- CCK: 2 caras, 1 coroa
- CKC: 2 caras, 1 coroa
- KCC: 2 caras, 1 coroa
- CKK: 1 cara, 2 coroas
- KCK: 1 cara, 2 coroas
- KKc: 1 cara, 2 coroas
- KKK: 0 caras, 3 coroas
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Como as moedas são lançadas de forma independente, a probabilidade de uma combinação específica é o produto das probabilidades individuais de cada moeda.
As probabilidades de dar cara são:
- Coin 1:
- Coin 2:
- Coin 3:
E, consequentemente, as probabilidades de dar coroa são:
- Coin 1:
- Coin 2:
- Coin 3:
Passo 5
Vamos agora calcular a probabilidade de cada combinação:
- CCC:
- CCK:
- CKC:
- KCC:
- CKK:
- KCK:
- KKC:
- KKK:
Passo 6
Agora que temos as probabilidades de cada combinação e os valores de
correspondentes, vamos agrupar as probabilidades por cada valor de
:
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: -
: -
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: - Total:
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: -
: -
: -
: - Total:
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: -
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-
Passo 7
Finalmente, vamos simplificar as frações para facilitar a compreensão:
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Resposta
A função de probabilidade da variável aleatória
é: