Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, , e . Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Determine a função de probabilidade da variável aleatória , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar três moedas que não são justas, ou seja, cada uma tem uma probabilidade diferente de dar cara. Nosso objetivo é descobrir a função de probabilidade da variável aleatória , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos nesses lançamentos. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades.
Vamos listar todas elas e calcular a diferença entre o número de caras e coroas para cada caso.
Passo 3
Vamos listar todas as 8 combinações possíveis e calcular :
CCC: 3 caras, 0 coroas
CCK: 2 caras, 1 coroa
CKC: 2 caras, 1 coroa
KCC: 2 caras, 1 coroa
CKK: 1 cara, 2 coroas
KCK: 1 cara, 2 coroas
KKc: 1 cara, 2 coroas
KKK: 0 caras, 3 coroas
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Como as moedas são lançadas de forma independente, a probabilidade de uma combinação específica é o produto das probabilidades individuais de cada moeda.
As probabilidades de dar cara são:
Coin 1:
Coin 2:
Coin 3:
E, consequentemente, as probabilidades de dar coroa são:
Coin 1:
Coin 2:
Coin 3:
Passo 5
Vamos agora calcular a probabilidade de cada combinação:
CCC:
CCK:
CKC:
KCC:
CKK:
KCK:
KKC:
KKK:
Passo 6
Agora que temos as probabilidades de cada combinação e os valores de correspondentes, vamos agrupar as probabilidades por cada valor de :
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Total:
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Total:
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Passo 7
Finalmente, vamos simplificar as frações para facilitar a compreensão:
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Resposta
A função de probabilidade da variável aleatória é: