Seja X uma variável aleatória contínua com f d p dada por
fX(x) = { 2x, se 0 <= x <= 1; 0, caso contrario }
(a) Faça um gráfico de f_X e prove que de fato é uma função densidade de probabilidade.
(b) Calcule P(0 <= X <= 1/2).
© Obtenha a função de distribuição acumulada de X e a mediana de X (A mediana de X é o ponto q tal que F_X(q) = 0,5.
(R:(b) 1/4 © M d = raiz(2) / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade definida por:
á
A gente precisa resolver três partes:
a) Fazer um gráfico de e provar que é uma função densidade de probabilidade.
b) Calcular .
c) Encontrar a função de distribuição acumulada de e a mediana de .

Passo 2

Parte (a): Primeiro, vamos entender o que significa uma função densidade de probabilidade (fdp). Para ser uma fdp válida, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a nossa .

Passo 3

Verificando a condição 1:
Nossa função é para e 0 fora disso. Como está entre 0 e 1, sempre será positivo ou zero. Fora desse intervalo, a função é zero. Logo, para todo . Primeira condição satisfeita!

Passo 4

Verificando a condição 2:
Vamos calcular a integral de de a :
Calculando essa integral:
A integral resulta em 1. Segunda condição satisfeita!

Passo 5

Fazendo o gráfico de :
Para , é uma reta que começa em (0,0) e vai até (1,2). Fora desse intervalo, a função é zero. Então, o gráfico é uma linha reta crescente de (0,0) a (1,2) e zero fora desse intervalo.

Passo 6

Parte (b): Vamos calcular . Isso significa integrar a função densidade de 0 até 1/2:
Calculando a integral:
Então, .

Passo 7

Parte ©: Vamos encontrar a função de distribuição acumulada (FDA) e a mediana .
Função de Distribuição Acumulada :
A FDA é definida como:
Para nossa função:
  • Se , (já que a fdp é zero)
  • Se :
  • Se , (já que a integral total é 1)
Então, a FDA é:
Mediana :
A mediana é o valor tal que . Vamos encontrar resolvendo:
Então, a mediana de é .

Resposta

(a) O gráfico de é uma linha reta de (0,0) a (1,2) e zero fora desse intervalo. Além disso, é uma função densidade de probabilidade porque para todo e a integral de de a é igual a 1.
(b) .
© A função de distribuição acumulada de é:
E a mediana de é .

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