Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade definida por:
A gente precisa resolver três partes:
a) Fazer um gráfico de e provar que é uma função densidade de probabilidade.
b) Calcular .
c) Encontrar a função de distribuição acumulada de e a mediana de .
Passo 2
Parte (a): Primeiro, vamos entender o que significa uma função densidade de probabilidade (fdp). Para ser uma fdp válida, ela precisa satisfazer duas condições:
para todo .
A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a nossa .
Passo 3
Verificando a condição 1:
Nossa função é para e 0 fora disso. Como está entre 0 e 1, sempre será positivo ou zero. Fora desse intervalo, a função é zero. Logo, para todo . Primeira condição satisfeita!
Passo 4
Verificando a condição 2:
Vamos calcular a integral de de a :
Calculando essa integral:
A integral resulta em 1. Segunda condição satisfeita!
Passo 5
Fazendo o gráfico de :
Para , é uma reta que começa em (0,0) e vai até (1,2). Fora desse intervalo, a função é zero. Então, o gráfico é uma linha reta crescente de (0,0) a (1,2) e zero fora desse intervalo.
Passo 6
Parte (b): Vamos calcular . Isso significa integrar a função densidade de 0 até 1/2:
Função de Distribuição Acumulada :
A FDA é definida como:
Para nossa função:
Se , (já que a fdp é zero)
Se :
Se , (já que a integral total é 1)
Então, a FDA é:
Mediana :
A mediana é o valor tal que . Vamos encontrar resolvendo:
Então, a mediana de é .
Resposta
(a) O gráfico de é uma linha reta de (0,0) a (1,2) e zero fora desse intervalo. Além disso, é uma função densidade de probabilidade porque para todo e a integral de de a é igual a 1.