Sendo X ~ U[0,4] (Uniforme no intervalo [0,4]), calcule:
(a) P(X>2)
(b) P(X ≥ 2)
© P(1<X<2)
(d) P(1<X<2 | X<3)
(e) P(X<3 | 1<X<2)
(R:(a)1/2 (b) 1/2 © 1/4 (d) 1/3 (e) 1 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, 4], ou seja, . Distribuição uniforme significa que todas as partes do intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Vamos precisar usar propriedades da distribuição uniforme para calcular as probabilidades solicitadas nas partes (a) até (e).

Passo 2

(a)
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ser maior que 2. Na distribuição uniforme, a probabilidade é proporcional ao tamanho do intervalo onde o evento ocorre.
A largura total do intervalo é 4 (de 0 a 4). O intervalo onde vai de 2 a 4, com largura 2.
Então, a probabilidade é:

Passo 3

(b)
Agora, queremos a probabilidade de ser maior ou igual a 2. Na distribuição contínua, a diferença entre e é insignificante porque a probabilidade de ser exatamente 2 é 0.
Portanto,

Passo 4

©
Vamos calcular a probabilidade de estar entre 1 e 2. O intervalo tem largura .
Então,

Passo 5

(d)
Aqui, queremos a probabilidade de estar entre 1 e 2, dado que é menor que 3. Isso é uma probabilidade condicional.
Primeiro, calculamos a probabilidade de :
Já sabemos que .
Então, a probabilidade condicional é:

Passo 6

(e)
Agora, queremos a probabilidade de dado que está entre 1 e 2.
Observamos que se está entre 1 e 2, automaticamente também é menor que 3, já que 2 < 3.
Portanto,

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)

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