Uma urna contém quatro bolas sendo uma branca e três vermelhas, de onde são extraídas três bolas em sequência e sem reposição. Obtenha:
(a) O espaço amostral e calcule as probabilidades associadas a cada um dos possíveis resultados;
(b) A distribuição de probabilidade da variável aleatória X igual ao número de bolas vermelhas da amostra de três bolas e calcule E[X] e Var[X].
(R: (a) Ω = {B1 V2 V3, V1 B2 V3, V1 V2 B3, V1 V2 V3}, cujas probabilidades de seus pontos amostrais são todas iguais a 1/4. (b) Esperança: 9/4, variância: 3/16)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas: 1 branca e 3 vermelhas. Vamos extrair 3 bolas, uma de cada vez, sem reposição (ou seja, sem colocar de volta na urna após cada extração). Precisamos resolver duas partes:
(a) Identificar todos os possíveis resultados dessas extrações e calcular a probabilidade de cada resultado.
(b) Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória X, que representa o número de bolas vermelhas na amostra de três bolas. Além disso, calcular a esperança matemática (E[X]) e a variância (Var[X]) dessa variável.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, espaço amostral e variáveis aleatórias.

Passo 2

Parte (a): Espaço amostral e probabilidades
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados das extrações. Como temos 3 bolas vermelhas (V) e 1 branca (B), e retiramos 3 bolas sem reposição, os possíveis resultados são combinações onde a única bola branca pode estar em qualquer uma das três posições.
Então, os possíveis resultados são:
  1. B V V: Bola branca na primeira extração, seguido de duas vermelhas.
  2. V B V: Bola vermelha na primeira extração, branca na segunda, e vermelha na terceira.
  3. V V B: Duas bolas vermelhas nas duas primeiras extrações, e a branca na terceira.
  4. V V V: Todas as três bolas vermelhas extraídas.
Isso forma o espaço amostral:
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses resultados ocorrer. Como as extrações são igualmente prováveis e sem reposição, cada sequência específica tem a mesma probabilidade.
Como temos 4 resultados possíveis e todas são igualmente prováveis, a probabilidade de cada um é:

Passo 3

Parte (b): Distribuição de probabilidade da variável aleatória X, E[X] e Var[X]
A variável aleatória X representa o número de bolas vermelhas na amostra de três bolas. Vamos listar os possíveis valores de X e suas respectivas probabilidades com base no espaço amostral que encontramos:
  1. X = 0: Nenhuma bola vermelha (apenas bolas brancas). No nosso espaço amostral, isso não ocorre, então .
  2. X = 1: Uma bola vermelha. Isso ocorre nos casos onde há duas vermelhas e uma branca, mas como estamos contando o número de vermelhas:
    • Resultados: B V V, V B V, V V B
    • Quantidade: 3
    • Probabilidade:
  3. X = 3: Três bolas vermelhas.
    • Resultado: V V V
    • Quantidade: 1
    • Probabilidade:
Agora, a distribuição de probabilidade de X é:
Calculando a Esperança Matemática :
A esperança matemática é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando a Variância :
Primeiro, precisamos calcular :
Agora, a variância é:

Resposta

(a) O espaço amostral é , com cada resultado tendo probabilidade igual a .
(b) A distribuição de probabilidade de é:
A esperança matemática é e a variância é .

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