Seja
uma variável aleatória discreta e seja
uma função tal que
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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Obtenha
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta, $ X $, com possíveis valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função $ f(x) $ nos dá as probabilidades associadas a cada valor de $ X $. Nosso objetivo é encontrar a esperança matemática de $ X $, denotada por $ E(X) $, e a variância de $ X $, denotada por $ \operatorname{Var}(X) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como a soma das probabilidades, esperança matemática e variância. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1, porque a soma das probabilidades de todos os possíveis eventos de uma variável aleatória deve sempre ser 1.
Temos:
Então, somando todas as probabilidades:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 3p^{2} + 2p - 1 = 0 $ para encontrar o valor de $ p $.
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Como probabilidades não podem ser negativas, descartamos $ p = -1 $. Então, temos $ p = \frac{1}{3} $.
Passo 4
Com o valor de $ p $ encontrado, vamos substituir de volta nas expressões de $ f(x) $ para encontrar as probabilidades de cada valor de $ X $:
Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, onde as probabilidades são os pesos. A fórmula é:
Calculando:
Simplificando:
Convertendo tudo para novésimos para facilitar a soma:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ se afastam da esperança. A fórmula é:
Primeiro, calculamos $ E(X^{2}) $:
Calculando:
Simplificando:
Convertendo tudo para novésimos:
Agora, calculamos a variância:
Resposta
A esperança matemática de $ X $ é $ E(X) = \frac{29}{9} $ e a variância de $ X $ é $ \operatorname{Var}(X) = \frac{104}{81} $.