Seja X uma variável aleatória discreta e seja f uma função tal que
x 1 2 3 4 5
f(x) p^2 p^2 p p p^2
Obtenha E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta, $ X $, com possíveis valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função $ f(x) $ nos dá as probabilidades associadas a cada valor de $ X $. Nosso objetivo é encontrar a esperança matemática de $ X $, denotada por $ E(X) $, e a variância de $ X $, denotada por $ \operatorname{Var}(X) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como a soma das probabilidades, esperança matemática e variância. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1, porque a soma das probabilidades de todos os possíveis eventos de uma variável aleatória deve sempre ser 1.
Temos:
f(1) = p^2, f(2) = p^2, f(3) = p, f(4) = p, f(5) = p^2
Então, somando todas as probabilidades:
p^2 + p^2 + p + p + p^2 = 1
Simplificando:
3p^2 + 2p = 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 3p^{2} + 2p - 1 = 0 $ para encontrar o valor de $ p $.
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
3p^2 + 2p - 1 = 0
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
p
Isso nos dá duas soluções:
p = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como probabilidades não podem ser negativas, descartamos $ p = -1 $. Então, temos $ p = \frac{1}{3} $.

Passo 4

Com o valor de $ p $ encontrado, vamos substituir de volta nas expressões de $ f(x) $ para encontrar as probabilidades de cada valor de $ X $:
p
Então, temos:
f(x)

Passo 5

Vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, onde as probabilidades são os pesos. A fórmula é:
E(X)
Calculando:
X
Simplificando:
E(X) = sumx x cdot P(X=x)
Convertendo tudo para novésimos para facilitar a soma:
E(X) = 1 cdot 19 + 2 cdot 19 + 3 cdot 13 + 4 cdot 13 + 5 cdot 19

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ se afastam da esperança. A fórmula é:
Var(X)
Primeiro, calculamos $ E(X^{2}) $:
X
Calculando:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Simplificando:
E(X^2)
Convertendo tudo para novésimos:
E(X^2) = sumx x^2 cdot P(X=x)
Agora, calculamos a variância:
E(X^2) = 1^2 cdot 19 + 2^2 cdot 19 + 3^2 cdot 13 + 4^2 cdot 13 + 5^2 cdot 19

Resposta

A esperança matemática de $ X $ é $ E(X) = \frac{29}{9} $ e a variância de $ X $ é $ \operatorname{Var}(X) = \frac{104}{81} $.

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