Suponha que dois adversários
e
disputam uma série de oito partidas de um determinado jogo. A probabilidade do jogador
ganhar uma partida é 0.6 e não há empate. Qual a probabilidade do jogador
ganhar a série? (Dica: Use a distribuição binomial para modelar esse problema.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve dois jogadores, o A e o B, disputando uma série de oito partidas de um jogo. A probabilidade do jogador A ganhar cada partida é de 0,6, e não há empates. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade do jogador A ganhar a série inteira. Para isso, vamos utilizar a distribuição binomial, que é ótima para modelar situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obtermos exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ p $ de sucesso. A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ 1 - p $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
Passo 3
No nosso caso, queremos que o jogador A ganhe a série, ou seja, que ele vença mais partidas que o jogador B. Como são 8 partidas, para ganhar a série, o jogador A precisa vencer pelo menos 5 partidas (porque se ele vencer 4, é empate). Portanto, precisamos calcular a probabilidade de A ganhar 5, 6, 7 ou 8 partidas.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente usando a fórmula da distribuição binomial.
Para $ k = 5 $:
Para $ k = 6 $:
Para $ k = 7 $:
Para $ k = 8 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada coeficiente binomial:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Passo 7
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total do jogador A ganhar a série:
Resposta
A probabilidade do jogador A ganhar a série de oito partidas é aproximadamente 59,7%.