Suponha que dois adversários A e B disputam uma série de oito partidas de um determinado jogo. A probabilidade do jogador A ganhar uma partida é 0.6 e não há empate. Qual a probabilidade do jogador A ganhar a série? (Dica: Use a distribuição binomial para modelar esse problema.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve dois jogadores, o A e o B, disputando uma série de oito partidas de um jogo. A probabilidade do jogador A ganhar cada partida é de 0,6, e não há empates. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade do jogador A ganhar a série inteira. Para isso, vamos utilizar a distribuição binomial, que é ótima para modelar situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obtermos exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ p $ de sucesso. A fórmula da distribuição binomial é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ 1 - p $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

No nosso caso, queremos que o jogador A ganhe a série, ou seja, que ele vença mais partidas que o jogador B. Como são 8 partidas, para ganhar a série, o jogador A precisa vencer pelo menos 5 partidas (porque se ele vencer 4, é empate). Portanto, precisamos calcular a probabilidade de A ganhar 5, 6, 7 ou 8 partidas.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente usando a fórmula da distribuição binomial.
Para $ k = 5 $:
k = 5
Para $ k = 6 $:
P(5) = binom85 cdot (0.6)^5 cdot (0.4)^3
Para $ k = 7 $:
k = 6
Para $ k = 8 $:
P(6) = binom86 cdot (0.6)^6 cdot (0.4)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular cada coeficiente binomial:
binom85 = 56, binom86 = 28, binom87 = 8, binom88 = 1

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula, temos:
P(5) = 56 cdot (0.6)^5 cdot (0.4)^3 approx 56 cdot 0.07776 cdot 0.064 approx 0.28
P(6) = 28 cdot (0.6)^6 cdot (0.4)^2 approx 28 cdot 0.04666 cdot 0.16 approx 0.21
P(7) = 8 cdot (0.6)^7 cdot (0.4)^1 approx 8 cdot 0.02799 cdot 0.4 approx 0.09
P(8) = 1 cdot (0.6)^8 cdot (0.4)^0 approx 1 cdot 0.0168 cdot 1 approx 0.017

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total do jogador A ganhar a série:
P(Série) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) approx 0.28 + 0.21 + 0.09 + 0.017 = 0.597 é

Resposta

A probabilidade do jogador A ganhar a série de oito partidas é aproximadamente 59,7%.

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