Seja
uma variável aleatória discreta e seja
uma função tal que
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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Calcule $P( | X-3 | \geq 2)$. |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta $ X $ com função de probabilidade definida pela tabela. O enunciado pede para calcular $ P(|X - 3| \geq 2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade discreta e como calcular probabilidades usando funções de massa de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $ que nos dá as probabilidades de cada valor que $ X $ pode assumir. A tabela é:
$ x $ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
$ f(x) $ | $ p^{2} $ | $ p^{2} $ | $ p $ | $ p $ | $ p^{2} $ |
Isso significa que:
- $ P(X=1) = p^{2} $
- $ P(X=2) = p^{2} $
- $ P(X=3) = p $
- $ P(X=4) = p $
- $ P(X=5) = p^{2} $
Passo 3
Queremos calcular $ P(|X - 3| \geq 2) $. Vamos interpretar isso:
$ |X - 3| \geq 2 $ significa que a distância de $ X $ até 3 é pelo menos 2. Isso ocorre quando:
- $ X \leq 1 $ ou
- $ X \geq 5 $
Então, $ P(|X - 3| \geq 2) = P(X \leq 1) + P(X \geq 5) $.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- $ P(X \leq 1) = P(X=1) = p^{2} $
- $ P(X \geq 5) = P(X=5) = p^{2} $
Portanto, $ P(|X - 3| \geq 2) = p^{2} + p^{2} = 2p^{2} $.
Passo 5
Mas precisamos saber o valor de $ p $. Para isso, usamos o fato de que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Ignorando a solução negativa (porque probabilidade não pode ser negativa):
Passo 6
Agora que sabemos que $ p = \frac{1}{3} $, substituímos na expressão de $ P(|X - 3| \geq 2) $:
Resposta
$ P(|X - 3| \geq 2) = \frac{2}{9} $