Seja X uma variável aleatória discreta e seja f uma função tal que
x 1 2 3 4 5
f(x) p^2 p^2 p p p^2
Calcule $P( X-3 \geq 2)$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta $ X $ com função de probabilidade definida pela tabela. O enunciado pede para calcular $ P(|X - 3| \geq 2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade discreta e como calcular probabilidades usando funções de massa de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $ que nos dá as probabilidades de cada valor que $ X $ pode assumir. A tabela é:
$ x $ 1 2 3 4 5
$ f(x) $ $ p^{2} $ $ p^{2} $ $ p $ $ p $ $ p^{2} $
Isso significa que:
  • $ P(X=1) = p^{2} $
  • $ P(X=2) = p^{2} $
  • $ P(X=3) = p $
  • $ P(X=4) = p $
  • $ P(X=5) = p^{2} $

Passo 3

Queremos calcular $ P(|X - 3| \geq 2) $. Vamos interpretar isso:
$ |X - 3| \geq 2 $ significa que a distância de $ X $ até 3 é pelo menos 2. Isso ocorre quando:
  • $ X \leq 1 $ ou
  • $ X \geq 5 $
Então, $ P(|X - 3| \geq 2) = P(X \leq 1) + P(X \geq 5) $.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  • $ P(X \leq 1) = P(X=1) = p^{2} $
  • $ P(X \geq 5) = P(X=5) = p^{2} $
Portanto, $ P(|X - 3| \geq 2) = p^{2} + p^{2} = 2p^{2} $.

Passo 5

Mas precisamos saber o valor de $ p $. Para isso, usamos o fato de que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
p
Vamos resolver essa equação quadrática:
p^2 + p^2 + p + p + p^2 = 3p^2 + 2p = 1
Usando a fórmula de Bhaskara:
3p^2 + 2p - 1 = 0
p = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3
p = -2 pm raiz4 + 126
p = -2 pm raiz166
Ignorando a solução negativa (porque probabilidade não pode ser negativa):
p = -2 pm 46

Passo 6

Agora que sabemos que $ p = \frac{1}{3} $, substituímos na expressão de $ P(|X - 3| \geq 2) $:
p = 13

Resposta

$ P(|X - 3| \geq 2) = \frac{2}{9} $

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