Suponha que 10 % dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Suponha que 5 pessoas são selecionadas de forma independente e ao acaso. Seja X o número de moradores que não tem alergia dentre o grupo de moradores selecionados.
Qual a probabilidade de pelo menos 3 moradores não terem alergia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que 10% das pessoas próximas a uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes do ar. Selecionamos 5 pessoas de forma aleatória e independente. Queremos descobrir a probabilidade de pelo menos 3 dessas 5 pessoas não terem alergia. Vamos usar o teorema binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada pessoa pode ou não ter alergia. A probabilidade de sucesso (não ter alergia) é $ p = 0,90 $ e a de fracasso (ter alergia) é $ q = 0,10 $.

Passo 3

A variável $ X $ representa o número de pessoas sem alergia entre as 5 selecionadas. Queremos calcular $ P(X \geq 3) $, ou seja, a probabilidade de 3, 4 ou 5 pessoas não terem alergia. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somar.

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k q^n-k
onde:
  • $ n = 5 $ (número total de pessoas),
  • $ k $ é o número de sucessos,
  • $ p = 0,90 $,
  • $ q = 0,10 $.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X = 3) $:
P(X = 3)

Passo 6

Agora, $ P(X = 4) $:
P(X = 4)

Passo 7

E, por fim, $ P(X = 5) $:
P(X = 5)

Passo 8

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 3) $:
P(X >= 3)

Resposta

A probabilidade de pelo menos 3 moradores não terem alergia é aproximadamente 99,14%.

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