Suponha que
dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Suponha que 5 pessoas são selecionadas de forma independente e ao acaso. Seja
o número de moradores que não tem alergia dentre o grupo de moradores selecionados.
Qual a probabilidade de pelo menos 3 moradores não terem alergia?
Qual a probabilidade de pelo menos 3 moradores não terem alergia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala que 10% das pessoas próximas a uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes do ar. Selecionamos 5 pessoas de forma aleatória e independente. Queremos descobrir a probabilidade de pelo menos 3 dessas 5 pessoas não terem alergia. Vamos usar o teorema binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada pessoa pode ou não ter alergia. A probabilidade de sucesso (não ter alergia) é $ p = 0,90 $ e a de fracasso (ter alergia) é $ q = 0,10 $.
Passo 3
A variável $ X $ representa o número de pessoas sem alergia entre as 5 selecionadas. Queremos calcular $ P(X \geq 3) $, ou seja, a probabilidade de 3, 4 ou 5 pessoas não terem alergia. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somar.
Passo 4
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
- $ n = 5 $ (número total de pessoas),
- $ k $ é o número de sucessos,
- $ p = 0,90 $,
- $ q = 0,10 $.
Passo 5
Vamos calcular $ P(X = 3) $:
Passo 6
Agora, $ P(X = 4) $:
Passo 7
E, por fim, $ P(X = 5) $:
Passo 8
Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 3) $:
Resposta
A probabilidade de pelo menos 3 moradores não terem alergia é aproximadamente 99,14%.