Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro lambda. Defina Y por Y=lfloor Xrfloor+1, onde lfloor Xrfloor denota a parte inteira de X. Qual a distribuição de Y ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro lambda. A gente define uma nova variável Y como Y = lfloor X rfloor + 1, onde lfloor X rfloor é a parte inteira de X. Nosso objetivo é descobrir qual é a distribuição de probabilidade dessa variável Y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa lfloor X rfloor. Esse símbolo representa a parte inteira de X, ou seja, ele pega o número X e descarta a parte decimal, ficando só com o número inteiro. Por exemplo, se X = 3.7, então lfloor X rfloor = 3.
Como Y = lfloor X rfloor + 1, isso significa que Y será o menor inteiro maior que X. Então, se X está entre 0 e 1, Y será 1; se X está entre 1 e 2, Y será 2; e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade de Y ser igual a um valor específico k. Ou seja, queremos calcular P(Y = k). Sabemos que isso acontece quando X está entre k-1 e k. Portanto:
P(Y = k) = P(k-1 <= X < k)

Passo 4

Como X tem distribuição exponencial com parâmetro lambda, a função de distribuição acumulada (CDF) de X é:
FX(x) = 1 - e^-lambda x
Então, a probabilidade de X estar entre k-1 e k é:
P(k-1 <= X < k) = FX(k) - FX(k-1) = (1 - e^-lambda k) - (1 - e^-lambda (k-1))
Simplificando:
P(Y = k) = e^-lambda (k-1) - e^-lambda k = e^-lambda (k-1) (1 - e^-lambda)

Passo 5

Observando a expressão obtenhaemos:
P(Y = k) = (1 - e^-lambda) e^-lambda (k-1)
Essa é a forma da função de massa de probabilidade da distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é p = 1 - e^-lambda. Portanto, Y segue uma distribuição geométrica com parâmetro p = 1 - e^-lambda.

Resposta

A variável Y possui distribuição geométrica com parâmetro p = 1 - e^-lambda.

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