Seja uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro . Defina por , onde denota a parte inteira de . Qual a distribuição de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro . A gente define uma nova variável como , onde é a parte inteira de . Nosso objetivo é descobrir qual é a distribuição de probabilidade dessa variável .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse símbolo representa a parte inteira de , ou seja, ele pega o número e descarta a parte decimal, ficando só com o número inteiro. Por exemplo, se , então .
Como , isso significa que será o menor inteiro maior que . Então, se está entre 0 e 1, será 1; se está entre 1 e 2, será 2; e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade de ser igual a um valor específico . Ou seja, queremos calcular . Sabemos que isso acontece quando está entre e . Portanto:

Passo 4

Como tem distribuição exponencial com parâmetro , a função de distribuição acumulada (CDF) de é:
Então, a probabilidade de estar entre e é:
Simplificando:

Passo 5

Observando a expressão obtenhaemos:
Essa é a forma da função de massa de probabilidade da distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é . Portanto, segue uma distribuição geométrica com parâmetro .

Resposta

A variável possui distribuição geométrica com parâmetro .

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