Seja
uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro
. Defina
por
, onde
denota a parte inteira de
. Qual a distribuição de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória
com distribuição exponencial de parâmetro
. A gente define uma nova variável
como
, onde
é a parte inteira de
. Nosso objetivo é descobrir qual é a distribuição de probabilidade dessa variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo representa a parte inteira de
, ou seja, ele pega o número
e descarta a parte decimal, ficando só com o número inteiro. Por exemplo, se
, então
.
Como
, isso significa que
será o menor inteiro maior que
. Então, se
está entre 0 e 1,
será 1; se
está entre 1 e 2,
será 2; e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a probabilidade de
ser igual a um valor específico
. Ou seja, queremos calcular
. Sabemos que isso acontece quando
está entre
e
. Portanto:
Passo 4
Como
tem distribuição exponencial com parâmetro
, a função de distribuição acumulada (CDF) de
é:
Então, a probabilidade de
estar entre
e
é:
Simplificando:
Passo 5
Observando a expressão obtenhaemos:
Essa é a forma da função de massa de probabilidade da distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é
. Portanto,
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
.
Resposta
A variável
possui distribuição geométrica com parâmetro
.