Seja
um ponto da elipse
tal que
e
.
Determine
de modo que a área do triângulo determinado por
e pelos eixos coordenados seja mínima.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
que está na elipse dada por
. Queremos encontrar o valor de
positivo que faz a área do triângulo formado por esse ponto e os eixos coordenados ser a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área do triângulo formado pelos pontos
,
e
. A base do triângulo será
e a altura será
. A fórmula para a área de um triângulo é:
Então, a área do nosso triângulo fica:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar
com
usando a equação da elipse. A equação da elipse é:
Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área, temos:
Agora, a área está expressa apenas em função de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Primeiro, a expressão da área:
A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Resposta
O valor de
que minimiza a área do triângulo é:
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo: