Seja (x0, y0) um ponto da elipse x^2 + 4y^2 = 1 tal que x0 > 0 e y0 > 0.
Determine x_0 de modo que a área do triângulo determinado por T e pelos eixos coordenados seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto (x0, y0) que está na elipse dada por . Queremos encontrar o valor de x_0 positivo que faz a área do triângulo formado por esse ponto e os eixos coordenados ser a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área do triângulo formado pelos pontos , e . A base do triângulo será x_0 e a altura será y0. A fórmula para a área de um triângulo é:
Então, a área do nosso triângulo fica:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar y0 com x_0 usando a equação da elipse. A equação da elipse é:
Vamos isolar y^2:

Passo 4

Substituindo y0 na fórmula da área, temos:
Agora, a área está expressa apenas em função de x_0.

Passo 5

Para encontrar o valor de x_0 que minimiza a área A, vamos derivar A em relação a x_0 e igualar a derivada a zero. Primeiro, a expressão da área:
A derivada de A em relação a x_0 é:
Simplificando:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:

Resposta

O valor de x_0 que minimiza a área do triângulo é:

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x^3 / (x^2 - 1)
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(y+z) i-x^2 j-4 y^2 k,
r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo: sumi=1^n-1 i(i+1)=n(n-1)(n+1)3, n >= 2
lim x 0 3^m x-13^n x-1