Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática que pede para provar uma soma usando o Princípio de Indução Matemática. A soma que precisamos provar é:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, ou seja, para
.
Calculando a soma:
Agora, calculando o lado direito da igualdade com
:
Como os dois lados são iguais, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Esse é o nosso passo de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos provar para
. Primeiro, montamos a soma para
:
Podemos separar essa soma:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Então substituímos na expressão:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Fatorando
:
Observamos que
, então podemos reescrever:
Isso mostra que a fórmula funciona para
.
Resposta
Assim, pelo Princípio de Indução Matemática, a igualdade
é verdadeira para todo
natural maior ou igual a 2.
Exercícios relacionados
Seja
um ponto da elipse
tal que
e
.
Determine de modo que a área do triângulo determinado por
e pelos eixos coordenados seja mínima.
Determine
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
é divisível por 6 para