Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
onde a curva
é definida pela função vetorial
para
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial
, substituir na função campo
, e então realizar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A função
representa a parametrização da curva
.
A derivada
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na função campo
.
Substituindo
,
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Isso significa multiplicar componente a componente e somar os resultados.
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
para encontrar o valor da integral de linha.
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora, avaliamos as integrais de
a
:
Vamos somar as frações:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
a)
e
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
b)
c)
d)
e)
f)
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Seja
um ponto da elipse
tal que
e
.
Determine de modo que a área do triângulo determinado por
e pelos eixos coordenados seja mínima.
Determine