Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x^3 / (x^2 - 1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Esse problema está relacionado ao estudo de funções e gráficos no cálculo, e para resolvê-lo, vamos precisar entender conceitos como domínio, assíntotas, interceptações, derivadas para análise de crescimento e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos um denominador , ele não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero.
Então, o domínio de é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas da função. As assíntotas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas. Comecemos pelas assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador se iguala a zero.
Como já vimos, e tornam o denominador zero, portanto, temos assíntotas verticais em e .
Para encontrar as assíntotas horizontais ou oblíquas, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Dividindo o numerador pelo denominador:
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, não há assíntota horizontal, mas há uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial de por :
Portanto, a assíntota oblíqua é .

Passo 4

Vamos agora encontrar as interceptações da função com os eixos. A interceptação com o eixo ocorre quando :
Então, a função intercepta o eixo no ponto .
Para encontrar as interceptações com o eixo , resolvemos :
Portanto, a única interceptação com o eixo também é no ponto .

Passo 5

Vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, calculamos a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos :
Analisando o sinal de em intervalos determinados por esses valores, podemos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 6

Por fim, vamos considerar a concavidade da função calculando a segunda derivada. No entanto, para simplificar, podemos observar que a função tem uma assíntota oblíqua e comporta-se de acordo com os sinais das derivadas.
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota oblíqua em .
  • Interceptação no ponto .
  • A função cresce e decresce nos intervalos determinados pelos pontos críticos , e .

Resposta

O gráfico da função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota oblíqua em , intercepta os eixos no ponto e apresenta comportamento crescente e decrescente conforme os pontos críticos identificados. O esboço reflete essas características, mostrando as assimptotas e a trajetória da função conforme analisado.

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