Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Esse problema está relacionado ao estudo de funções e gráficos no cálculo, e para resolvê-lo, vamos precisar entender conceitos como domínio, assíntotas, interceptações, derivadas para análise de crescimento e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um denominador
, ele não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero.
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas da função. As assíntotas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas. Comecemos pelas assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador se iguala a zero.
Como já vimos,
e
tornam o denominador zero, portanto, temos assíntotas verticais em
e
.
Para encontrar as assíntotas horizontais ou oblíquas, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Dividindo o numerador pelo denominador:
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, não há assíntota horizontal, mas há uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial de
por
:
Portanto, a assíntota oblíqua é
.
Passo 4
Vamos agora encontrar as interceptações da função com os eixos. A interceptação com o eixo
ocorre quando
:
Então, a função intercepta o eixo
no ponto
.
Para encontrar as interceptações com o eixo
, resolvemos
:
Portanto, a única interceptação com o eixo
também é no ponto
.
Passo 5
Vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, calculamos a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Analisando o sinal de
em intervalos determinados por esses valores, podemos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 6
Por fim, vamos considerar a concavidade da função calculando a segunda derivada. No entanto, para simplificar, podemos observar que a função tem uma assíntota oblíqua
e comporta-se de acordo com os sinais das derivadas.
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota oblíqua em
. - Interceptação no ponto
. - A função cresce e decresce nos intervalos determinados pelos pontos críticos
, e .
Resposta
O gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota oblíqua em
, intercepta os eixos no ponto
e apresenta comportamento crescente e decrescente conforme os pontos críticos identificados. O esboço reflete essas características, mostrando as assimptotas e a trajetória da função conforme analisado.
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Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
Seja
um ponto da elipse
tal que
e
.
Determine de modo que a área do triângulo determinado por
e pelos eixos coordenados seja mínima.
Determine
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo: