Seja X1, X2, … , X25 uma sequência de 25 variáveis aleatórias independentes e de distribuição normal com Média igual a 40 e desvio padrão igual a 20. A variável aleatória Y é definida como: Y = X1 + X2 + … + X25. Assinale a opção que corresponde a aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que Y seja maior que 1100.
57,93%
2,28%
84,13%
42,07%
15,87%
57,93%
2,28%
84,13%
42,07%
15,87%
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Probabilidade e Estatística envolvendo o Teorema Central do Limite. Basicamente, temos 25 variáveis aleatórias $ X_1, X_2, \dots, X_{25} $ que são independentes e seguem uma distribuição normal com média 40 e desvio padrão 20. Queremos descobrir a probabilidade de que a soma dessas 25 variáveis, que chamamos de $ Y $, seja maior que 1100.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema Central do Limite (TCL). Ele diz que, quando a gente soma várias variáveis aleatórias independentes, a distribuição dessa soma tende a ser normal, mesmo que as variáveis individuais não sejam. No nosso caso, como as variáveis já são normais, fica ainda mais fácil!
Passo 3
Vamos calcular a média da variável $ Y $. A média de uma soma de variáveis é a soma das médias individuais. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão de $ Y $. Primeiro, encontramos a variância de cada $ X_i $, que é o desvio padrão ao quadrado:
A variância da soma é a soma das variâncias:
Então, o desvio padrão de $ Y $ é:
Passo 5
Queremos encontrar $ P(Y > 1100) $. Para isso, vamos padronizar usando a fórmula do z-score:
Passo 6
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a $ z = 1 $. Sabemos que:
Portanto:
Convertendo para porcentagem, temos 15,87%.
Resposta
15,87%