Seja Y com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,4. Determine a aproximação normal para:
(a) P(3;
(b) P(Y >= 7);
© P(Y<5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . A gente vai usar a aproximação normal para calcular as probabilidades solicitadas nas partes (a), (b) e ©. Para isso, vamos precisar conhecer a média e o desvio padrão da distribuição binomial e aplicar a correção de continuidade na aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( mu = n times p = 10 times 0,4 = 4 ) e o desvio padrão ( sigma^2 = n times p times (1 - p) = 10 times 0,4 times 0,6 = 2,4 ) da distribuição binomial. A média é dada por:
sigma = raiz2,4 approx 1,549
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, onde a variância ( ) é:
Portanto, o desvio padrão é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a correção de continuidade. Como estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal), é importante ajustar os valores para melhorar a precisão. Isso significa que, para uma probabilidade P(3 < Y < 8) approx P(3,5 < Y < 7,5) , usaremos Z1 = 3,5 - 41,549 approx -0,323 na distribuição normal.
Vamos resolver cada parte do exercício:

Parte (a) Z2 = 7,5 - 41,549 approx 2,258

  1. Aplicar a correção de continuidade:
P(Z < 2,258) approx 0,9879
  1. Padronizar os valores usando a fórmula P(Z < -0,323) approx 0,3730 :
P(3 < Y < 8) approx 0,9879 - 0,3730 = 0,6149 ou 61,49%
P(Y >= 7) approx P(Y >= 6,5)
  1. Consultar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes:
Z = 6,5 - 41,549 approx 1,612
P(Z < 1,612) approx 0,9463
  1. Calcular a probabilidade final:
P(Y >= 7) approx 1 - 0,9463 = 0,0537 ou 5,37%

Parte (b) P(Y < 5) approx P(Y <= 4,5)

  1. Aplicar a correção de continuidade:
Z = 4,5 - 41,549 approx 0,323
  1. Padronizar o valor:
P(Z < 0,323) approx 0,6270
  1. Consultar a tabela da distribuição normal padrão:
P(Y < 5) approx 0,6270 ou 62,70%
  1. Calcular a probabilidade final:

Parte ©

  1. Aplicar a correção de continuidade:
  1. Padronizar o valor:
  1. Consultar a tabela da distribuição normal padrão:
  1. Calcular a probabilidade final:

Resposta

(a)
(b)
©

Exercícios relacionados