Seja
com distribuição binomial de parâmetros
e
. Determine a aproximação normal para:
(a)
;
(b)
;
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A gente vai usar a aproximação normal para calcular as probabilidades solicitadas nas partes (a), (b) e ©. Para isso, vamos precisar conhecer a média e o desvio padrão da distribuição binomial e aplicar a correção de continuidade na aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial. A média é dada por:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, onde a variância (
) é:
Portanto, o desvio padrão é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a correção de continuidade. Como estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal), é importante ajustar os valores para melhorar a precisão. Isso significa que, para uma probabilidade
, usaremos
na distribuição normal.
Vamos resolver cada parte do exercício:
Parte (a)
- Aplicar a correção de continuidade:
- Padronizar os valores usando a fórmula
:
- Consultar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes:
- Calcular a probabilidade final:
Parte (b)
- Aplicar a correção de continuidade:
- Padronizar o valor:
- Consultar a tabela da distribuição normal padrão:
- Calcular a probabilidade final:
Parte ©
- Aplicar a correção de continuidade:
- Padronizar o valor:
- Consultar a tabela da distribuição normal padrão:
- Calcular a probabilidade final:
Resposta
(a)
(b)
©