Se o tempo médio entre um pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média 10 min , determine:
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min .
(b) Probabilidade da espera ser superior a 10 min .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um restaurante onde o tempo médio entre um pedido e o atendimento segue uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x
Onde:
  • lambda = 1média = 110 = 0,1 min^-1 é a taxa, que é o inverso da média.
  • é o tempo.
Como a média é 10 minutos, podemos encontrar :
é

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser inferior a 10 minutos, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
P(X < x) = 1 - e^-lambda x
Substituindo P(X < 10) = 1 - e^-0,1 times 10 = 1 - e^-1 e e^-1 approx 0,3679 :
P(X < 10) = 1 - 0,3679 = 0,6321
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser superior a 10 minutos, usamos a complementaridade da probabilidade:
P(X > x) = 1 - P(X < x) = e^-lambda x
Substituindo P(X > 10) = e^-0,1 times 10 = e^-1 approx 0,3679 e :

Resposta

(a) A probabilidade da espera ser inferior a 10 minutos é aproximadamente 63,21%.
(b) A probabilidade da espera ser superior a 10 minutos é aproximadamente 36,79%.

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