Se o tempo médio entre um pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média 10 min , determine:
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min .
(b) Probabilidade da espera ser superior a 10 min .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um restaurante onde o tempo médio entre um pedido e o atendimento segue uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
Onde:
  • é a taxa, que é o inverso da média.
  • é o tempo.
Como a média é 10 minutos, podemos encontrar :
é

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser inferior a 10 minutos, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Substituindo e :
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser superior a 10 minutos, usamos a complementaridade da probabilidade:
Substituindo e :

Resposta

(a) A probabilidade da espera ser inferior a 10 minutos é aproximadamente 63,21%.
(b) A probabilidade da espera ser superior a 10 minutos é aproximadamente 36,79%.

Exercícios relacionados

Dado que o volume de um chopp num copo enchido por uma máquina post-mix, varia uniformemente entre 270 e 300 ml , pede-se a probabilidade de se ter um copo com menos de 290 ml .
Seja com distribuição binomial de parâmetros e . Determine a aproximação normal para:
(a) ;
(b) ;
©
Seja a função dada por .
(a) Encontre a constante para que a seja uma função de probabilidade;
(b) Com o valor de encontrado, calcule e ;
© Calcule e .
Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória ?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?