Se o tempo médio entre um pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média 10 min , determine:
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min .
(b) Probabilidade da espera ser superior a 10 min .
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min .
(b) Probabilidade da espera ser superior a 10 min .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um restaurante onde o tempo médio entre um pedido e o atendimento segue uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial para resolver as duas partes da questão.
Passo 2
A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
Onde:
-
é a taxa, que é o inverso da média. -
é o tempo.
Como a média é 10 minutos, podemos encontrar
:
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser inferior a 10 minutos, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Substituindo
e
:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de o tempo de espera ser superior a 10 minutos, usamos a complementaridade da probabilidade:
Substituindo
e
:
Resposta
(a) A probabilidade da espera ser inferior a 10 minutos é aproximadamente 63,21%.
(b) A probabilidade da espera ser superior a 10 minutos é aproximadamente 36,79%.