Seja
, onde
é uma função de classe
.
Expresse
em termos da derivadas parciais de
.
Expresse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função composta
. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar as derivadas parciais da função
em relação às suas variáveis. Vamos precisar entender a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
depende de duas variáveis intermediárias:
e
. Então, podemos reescrever
como
, onde
e
são funções de
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Isso significa que a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, cada uma multiplicada pela derivada de
e
em relação a
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando, temos:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
, com
.
Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
.
Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
, erro
;
Considere
e
. Defina
e determine
.