Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^1 / 2 x^3 arctg x d x, erro <10^-4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A gente precisa aproximar essa integral com erro menor que . Para isso, vamos usar a representação em série da função e integrar termo a termo até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de potências para arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 . Sabemos que:
Isso significa que podemos substituir por essa série na nossa integral.

Passo 3

Agora, multiplicamos x^3 arctan x = x^3 sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+42n+1 pela série de :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo de 0 até integral0^1/2 x^3 arctan x , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral0^1/2 x^2n+4 , dx :
integral x^2n+4 , dx = x^2n+52n+5
Calculando a integral de integral0^1/2 x^3 arctan x , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)(2n+5) ( (12)^2n+5 - 0 ) :
integral0^1/2 x^3 arctan x , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)(2n+5) 2^2n+5
Portanto:
Simplificando:

Passo 5

Vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que 11 cdot 5 cdot 2^5 = 1160 = 0.00625 . Isso garante que o erro da aproximação será menor que -13 cdot 7 cdot 2^7 = -12688 approx -0.000372 .
Vamos calcular alguns termos:
  • n = 0:
    15 cdot 9 cdot 2^9 = 123040 approx 0.000043
  • n = 1:
    -17 cdot 11 cdot 2^11 = -1156832 approx -0.00000637
  • n = 2:
    0.00625 - 0.000372 + 0.000043 approx 0.005921
  • n = 3:
Observamos que, a partir de , os termos são menores que . Portanto, podemos parar por aqui.
Somando os termos até :

Resposta

Aproximação da integral com erro menor que é aproximadamente 0,005921.

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