Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
, erro
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando séries de potências. A gente precisa aproximar essa integral com erro menor que
. Para isso, vamos usar a representação em série da função
e integrar termo a termo até alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de potências para
. Sabemos que:
Isso significa que podemos substituir
por essa série na nossa integral.
Passo 3
Agora, multiplicamos
pela série de
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo de 0 até
:
Calculando a integral de
:
Portanto:
Simplificando:
Passo 5
Vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que
. Isso garante que o erro da aproximação será menor que
.
Vamos calcular alguns termos:
-
n = 0:
-
n = 1:
-
n = 2:
-
n = 3:
Observamos que, a partir de
, os termos são menores que
. Portanto, podemos parar por aqui.
Somando os termos até
:
Resposta
Aproximação da integral
com erro menor que
é aproximadamente 0,005921.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é uma função de classe
.
Expresse em termos da derivadas parciais de
.
Expresse
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
, com
.
Considere
e
. Defina
e determine
.
Se
, para
, determine
.