Considere f(u, v)=e^u+u^2 v^3, u(x, y)=x+10 y e v(x, y)=cos (x y). Defina F(x, y)= f(u(x, y), v(x, y)) e determine partial Fpartial y(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a , onde:
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que é uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para derivadas parciais. Se partial Fpartial y = partial fpartial u cdot partial upartial y + partial fpartial v cdot partial vpartial y , então:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , assim como as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular f(u, v) = e^u + u^2 v^3 :
partial fpartial u = e^u + 2u v^3
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular partial fpartial v = 0 + u^2 cdot 3v^2 = 3u^2 v^2 :
Derivando em relação a :

Passo 5

Em seguida, calculamos partial upartial y = 10 :
Dado que , derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular partial vpartial y = -sin(xy) cdot x :
Dado que , derivando em relação a :
Isso porque usamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia para o argumento .

Passo 7

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial Fpartial y = ( e^u + 2u v^3 ) cdot 10 + ( 3u^2 v^2 ) cdot ( -x sin(xy) )

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
partial Fpartial y = 10e^u + 20u v^3 - 3u^2 v^2 x sin(xy)

Passo 9

Por fim, podemos substituir partial Fpartial y = 10e^x + 10y + 20(x + 10y) cos^3(xy) - 3(x + 10y)^2 cos^2(xy) x sin(xy) e na expressão final, se quisermos a derivada em termos de e :

Resposta

A derivada parcial de partial Fpartial y = 10e^x + 10y + 20(x + 10y) cos^3(xy) - 3(x + 10y)^2 x cos^2(xy) sin(xy) em relação a é:

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