Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule: P(-3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade envolvendo a Distribuição Normal Padrão. Queremos calcular a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre -3 e 3, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal padrão e usar uma tabela dessa distribuição ou funções matemáticas que nos ajudem a encontrar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal padrão é aquela que tem média igual a 0 e desvio padrão igual a 1. Ela é simétrica em torno da média. Isso significa que a probabilidade de estar entre -3 e 3 é a mesma da probabilidade de estar abaixo de 3 menos a probabilidade de estar abaixo de -3.

Passo 3

Para encontrar P(-a < Z < a) = 2 cdot P(0 < Z < a) , podemos usar a propriedade de simetria da distribuição normal. Sabemos que:
P(-3 < Z < 3) = 2 cdot P(0 < Z < 3)
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar P(Z < 3) approx 0,9987 . Essa probabilidade pode ser encontrada usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora com função de distribuição cumulativa.
Sabemos que:
P(Z < 0) = 0,5
E como a distribuição é simétrica:
P(0 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < 0) = 0,9987 - 0,5 = 0,4987
Então,

Passo 5

Agora, voltando à nossa equação inicial:
P(-3 < Z < 3) = 2 cdot 0,4987 = 0,9974
Isso significa que a probabilidade de estar entre -3 e 3 é aproximadamente 99,74%.

Resposta

A probabilidade de estar entre -3 e 3 é aproximadamente ou 99,74%.

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