Sejam
e
pontos no plano:
e) Encontre uma equação para a mediatriz de AB.
e) Encontre uma equação para a mediatriz de AB.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos dois pontos no plano cartesiano: A com coordenadas (7, 4) e B com coordenadas (5, 12). A tarefa é encontrar a equação da mediatriz do segmento AB.
Matéria envolvida: Geometria analítica, especificamente mediatriz de um segmento de reta.
O que precisamos: Saber como encontrar o ponto médio entre A e B, determinar a inclinação da reta AB, achar a inclinação da mediatriz (que é perpendicular à AB), e usar a equação da reta para finalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento AB. Para isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o ponto médio M é (6, 8).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta AB. A inclinação (m) de uma reta que passa por dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por:
Aplicando os pontos A(7,4) e B(5,12):
Então, a inclinação da reta AB é -4.
Passo 4
A mediatriz de AB é uma reta perpendicular a AB e que passa pelo ponto médio M(6, 8). Para encontrar a inclinação da mediatriz, precisamos lembrar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1.
Então, se a inclinação de AB é -4, a inclinação da mediatriz (m) será:
Portanto, a inclinação da mediatriz é
.
Passo 5
Com a inclinação da mediatriz e sabendo que ela passa pelo ponto M(6, 8), podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo m =
e o ponto (6, 8):
Passo 6
Finalmente, vamos simplificar essa equação para chegar na forma final:
Resposta
A equação da mediatriz de AB é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
pontos no plano:
b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as interseções com os eixos?
b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as interseções com os eixos?
Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2, -5) e
e) É paralela à reta
e) É paralela à reta
Resolva a equação pelo método que preferir encontrando apenas as soluções reais:
a)
a)
Resolva a equação pelo método que preferir encontrando apenas as soluções reais:
d)
d)