Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B)=x e P(A cap B)=y. Determine, em função de x e de y (ou seja, não é necessário substituir x e y por algum número, as respostas ficarão em funções dessas incógnitas), a probabilidade de:
d) Que se realize no máximo um único acontecimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois eventos, A e B, com probabilidades que somam P(A) + P(B) = x e a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo é P(A cap B) = y. A gente precisa descobrir, em função de x e y, qual é a probabilidade de que no máximo um desses eventos aconteça. Ou seja, ou nenhum acontece ou apenas um deles acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “no máximo um acontecer”. Isso inclui duas possibilidades:
  1. Nenhum evento acontece.
  2. Apenas um dos eventos acontece (pode ser só A ou só B).
Vamos calcular essas duas probabilidades separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a probabilidade de nenhum evento acontecer. Para isso, usamos a regra de complementaridade:
P(nenhum) = 1 - P(A cup B)
Aqui, P(A cup B) é a probabilidade de pelo menos um dos eventos A ou B acontecer.

Passo 4

Para encontrar P(A cup B), usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Sabemos que P(A) + P(B) = x e P(A cap B) = y, então:
P(A cup B) = x - y

Passo 5

Agora, substituímos P(A cup B) na fórmula da probabilidade de nenhum evento acontecer:
P(nenhum) = 1 - (x - y) = 1 - x + y

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de apenas um dos eventos acontecer. Isso pode ser dividido em duas partes:
  • Apenas A acontece: P(A) - P(A cap B)
  • Apenas B acontece: P(B) - P(A cap B)
Então, a probabilidade total de apenas um acontecer é:
P(apenas um) = (P(A) - y) + (P(B) - y) = P(A) + P(B) - 2y = x - 2y

Passo 7

Agora, juntamos as duas probabilidades que calculamos para obter a probabilidade de no máximo um evento acontecer:
P(no máximo um) = P(nenhum) + P(apenas um) = (1 - x + y) + (x - 2y) = 1 - y á

Resposta

A probabilidade de ocorrer no máximo um único acontecimento é 1 - y.

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