Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Beleza! Temos um exercício de teoria dos conjuntos. A gente precisa verificar se a igualdade é sempre verdadeira. Se for, mostramos a prova; se não, encontramos um contraexemplo que prova que a igualdade não funciona em geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos:
  • é a união dos conjuntos A e B, ou seja, todos os elementos que estão em A, em B, ou em ambos.
  • significa os elementos que estão em C, mas não estão em X.
  • Então, são os elementos que estão em C e não estão nem em A nem em B.
  • Por outro lado, são os elementos que estão em C e não em A, ou em C e não em B.

Passo 3

Para verificar se as duas expressões são iguais para todo conjunto A, B e C, vamos tentar encontrar um contraponto, ou seja, um caso onde elas não são iguais.

Passo 4

Escolhamos exemplos específicos para os conjuntos:
  • Seja
  • Seja
  • Seja

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  • União de A e B:
  • Diferença :
  • Diferença :
  • Diferença :
  • União das diferenças :

Passo 6

Comparando os resultados:
Claramente, . Isso mostra que a igualdade não se mantém para esses conjuntos específicos.

Resposta

A igualdade não é sempre verdadeira. Por exemplo, com , e , temos enquanto , mostrando que a igualdade não se sustenta.

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