Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Beleza! Temos um exercício de teoria dos conjuntos. A gente precisa verificar se a igualdade
é sempre verdadeira. Se for, mostramos a prova; se não, encontramos um contraexemplo que prova que a igualdade não funciona em geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos:
-
é a união dos conjuntos A e B, ou seja, todos os elementos que estão em A, em B, ou em ambos. -
significa os elementos que estão em C, mas não estão em X. - Então,
são os elementos que estão em C e não estão nem em A nem em B. - Por outro lado,
são os elementos que estão em C e não em A, ou em C e não em B.
Passo 3
Para verificar se as duas expressões são iguais para todo conjunto A, B e C, vamos tentar encontrar um contraponto, ou seja, um caso onde elas não são iguais.
Passo 4
Escolhamos exemplos específicos para os conjuntos:
- Seja
- Seja
- Seja
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte:
- União de A e B:
- Diferença
: - Diferença
: - Diferença
: - União das diferenças
:
Passo 6
Comparando os resultados:
Claramente,
. Isso mostra que a igualdade não se mantém para esses conjuntos específicos.
Resposta
A igualdade
não é sempre verdadeira. Por exemplo, com
,
e
, temos
enquanto
, mostrando que a igualdade não se sustenta.
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Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
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Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
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