Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos
e
. A proposição para analisar é:
Estamos lidando com operações de união (
) e interseção (
) de conjuntos. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou se existe algum caso onde ela não vale, utilizando as propriedades das operações de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar relembrando o que são união e interseção:
- União (
): é o conjunto de elementos que estão em , em , ou em ambos. - Interseção (
): é o conjunto de elementos que estão em e também em .
Passo 3
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em
e que também estão em
ou
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em
ou
e que tamb��m estão em
ou
.
Passo 5
Para verificar se as duas expressões são iguais, vamos usar a Lei Distributiva da interseção sobre a união, que afirma:
Por outro lado, usando a distributiva na outra direção:
Comparando as duas expressões resultantes:
Podemos ver que, em geral, essas duas expressões não são iguais para todos os conjuntos
.
Passo 6
Vamos fornecer um contraexemplo para mostrar que a igualdade nem sempre é verdadeira. Considere os seguintes conjuntos:
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Como
, a igualdade não se mantém nesse caso.
Resposta
A proposição
é falsa. Um contraexemplo que comprova isso é quando
,
e
, pois:
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e
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Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
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