Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos e . A proposição para analisar é:
Estamos lidando com operações de união ( ) e interseção ( ) de conjuntos. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou se existe algum caso onde ela não vale, utilizando as propriedades das operações de conjuntos.

Passo 2

Vamos começar relembrando o que são união e interseção:
  • União ( ): é o conjunto de elementos que estão em , em , ou em ambos.
  • Interseção ( ): é o conjunto de elementos que estão em e também em .

Passo 3

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em e que também estão em ou .

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em ou e que tamb��m estão em ou .

Passo 5

Para verificar se as duas expressões são iguais, vamos usar a Lei Distributiva da interseção sobre a união, que afirma:
Por outro lado, usando a distributiva na outra direção:
Comparando as duas expressões resultantes:
Podemos ver que, em geral, essas duas expressões não são iguais para todos os conjuntos .

Passo 6

Vamos fornecer um contraexemplo para mostrar que a igualdade nem sempre é verdadeira. Considere os seguintes conjuntos:
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
  • Lado esquerdo:
  • Lado direito:
Como , a igualdade não se mantém nesse caso.

Resposta

A proposição é falsa. Um contraexemplo que comprova isso é quando , e , pois:

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Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
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