Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Teoria dos Conjuntos. A gente precisa verificar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos ou provar que ela é verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa:
- União (
): inclui todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. - Interseção (
): inclui apenas os elementos que estão tanto em quanto em . - Diferença (
): inclui os elementos que estão em mas não em .
Então,
pega todos os elementos que estão em
ou em
, mas remove aqueles que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Já
faz basicamente a mesma coisa: pega os elementos só de
e só de
.
Passo 3
Vamos provar que os dois lados da igualdade são iguais. Para isso, precisamos mostrar que cada conjunto está contido no outro.
Primeiro, mostremos que
:
- Se um elemento
está em , então está em ou em , mas não em ambos. - Se
está só em , então . - Se
está só em , então . - Portanto,
está em .
Agora, vamos mostrar que
:
- Se um elemento
está em , então ou está só em ou só em . - Se
está só em , então e . - Se
está só em , então e . - Portanto,
está em .
Resposta
Como mostramos que
está contido em
e vice-versa, a igualdade é verdadeira:
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
aponte as possíveis dificuldades que provavelmente um estudante do Ensino Médio encontraria ao realizar o estudo de progressões (combinado com funções) sem nenhum recurso tecnológico disponível.
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.