Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Teoria dos Conjuntos. A gente precisa verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos ou provar que ela é verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que é falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa:
  • União ( ): inclui todos os elementos que estão em , em , ou em ambos.
  • Interseção ( ): inclui apenas os elementos que estão tanto em quanto em .
  • Diferença ( ): inclui os elementos que estão em mas não em .
Então, pega todos os elementos que estão em ou em , mas remove aqueles que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Já faz basicamente a mesma coisa: pega os elementos só de e só de .

Passo 3

Vamos provar que os dois lados da igualdade são iguais. Para isso, precisamos mostrar que cada conjunto está contido no outro.
Primeiro, mostremos que :
  • Se um elemento está em , então está em ou em , mas não em ambos.
  • Se está só em , então .
  • Se está só em , então .
  • Portanto, está em .
Agora, vamos mostrar que :
  • Se um elemento está em , então ou está só em ou só em .
  • Se está só em , então e .
  • Se está só em , então e .
  • Portanto, está em .

Resposta

Como mostramos que está contido em e vice-versa, a igualdade é verdadeira:

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Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .