Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos: , e . A questão quer que a gente prove que a interseção de e , que é , está contida dentro de . Isso está relacionado ao conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e operações de conjuntos. Para resolver isso, vamos usar a definição de subconjunto e propriedades da interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . A interseção de e é o conjunto que contém todos os elementos que estão tanto em quanto em . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, para provar que , precisamos mostrar que todo elemento que está em também está em . Vamos fazer isso de forma lógica.

Passo 4

Seja um elemento qualquer de . Por definição da interseção, isso significa que:

Passo 5

Já que está em , e sabemos que , então pertence ao conjunto . Portanto, todo elemento de está também em .

Resposta

Assim, provamos que .

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Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
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Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
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