Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos,
,
e
. A afirmação a ser analisada é: "Se
, então
". Vamos precisar usar conceitos de teoria de conjuntos, especificamente a diferença de conjuntos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a diferença de conjuntos. A diferença
é o conjunto de todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Ou seja:
Passo 3
A afirmação
quer dizer que todos os elementos de
permanecem em
. Isso implica que nenhum elemento de
está em
, já que se algum elemento de
estivesse em
, ele não estaria em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que isso diz sobre
. Se
, sabemos que nenhum elemento de
está em
. Mas isso não significa necessariamente que
esteja vazio.
pode ter elementos que não estão em
.
Passo 5
Para ver se a afirmação "Se
, então
" é verdadeira, vamos tentar encontrar um contraexemplo onde
mas
não é vazio.
Passo 6
Imagine que:
Nesse caso,
seria:
Aqui,
não é vazio (
), mas
.
Resposta
Portanto, a afirmação "Se
, então
" é falsa. Um contraexemplo válido é
e
, onde
mas
não é vazio.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Sejam
e
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.
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
.
Resplive as equagles
b)
b)