Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos, , e . A afirmação a ser analisada é: "Se , então ". Vamos precisar usar conceitos de teoria de conjuntos, especificamente a diferença de conjuntos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a diferença de conjuntos. A diferença é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em . Ou seja:

Passo 3

A afirmação quer dizer que todos os elementos de permanecem em . Isso implica que nenhum elemento de está em , já que se algum elemento de estivesse em , ele não estaria em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o que isso diz sobre . Se , sabemos que nenhum elemento de está em . Mas isso não significa necessariamente que esteja vazio. pode ter elementos que não estão em .

Passo 5

Para ver se a afirmação "Se , então " é verdadeira, vamos tentar encontrar um contraexemplo onde mas não é vazio.

Passo 6

Imagine que:
Nesse caso, seria:
Aqui, não é vazio ( ), mas .

Resposta

Portanto, a afirmação "Se , então " é falsa. Um contraexemplo válido é e , onde mas não é vazio.

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Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .
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Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então .
Resplive as equagles
b)