Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos dois conjuntos, e . O teorema que precisamos provar é: . Isso pertence ao conteúdo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e diferença entre conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a diferença entre conjuntos e o conceito de subconjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A diferença entre dois conjuntos, , representa todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parte do teorema: . Isso significa que todo elemento que está em também está em .

Passo 4

Mas, se , então qualquer elemento que está em mas não em também deveria estar em . Isso só é possível se não houver nenhum elemento em , ou seja, .

Passo 5

Portanto, mostramos que se , então .

Passo 6

Para a outra direção, se , isso significa que não existem elementos em que não estão em . Logo, todos os elementos de (que na verdade nenhum) estão em , ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que .

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Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então .
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