Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos dois conjuntos,
e
. O teorema que precisamos provar é:
. Isso pertence ao conteúdo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e diferença entre conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a diferença entre conjuntos e o conceito de subconjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A diferença entre dois conjuntos,
, representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira parte do teorema:
. Isso significa que todo elemento que está em
também está em
.
Passo 4
Mas, se
, então qualquer elemento que está em
mas não em
também deveria estar em
. Isso só é possível se não houver nenhum elemento em
, ou seja,
.
Passo 5
Portanto, mostramos que se
, então
.
Passo 6
Para a outra direção, se
, isso significa que não existem elementos em
que não estão em
. Logo, todos os elementos de
(que na verdade nenhum) estão em
, ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que
.
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Sejam
e
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Sejam
e
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e
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Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
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e
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então
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