Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
.
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido: temos três conjuntos,
,
e
. A afirmação que precisamos analisar é: "Se
, então
". Isso está relacionado à teoria dos conjuntos, mais especificamente às operações de interseção e à relação de inclusão entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento que está na interseção de
e
também está na interseção de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa condição implica que todo elemento de
está em
, ou seja,
. Para isso, vamos tentar encontrar um contra-exemplo onde
é verdadeiro, mas
não é.
Passo 4
Vamos definir os conjuntos da seguinte forma:
Passo 5
Calculando as interseções:
Passo 6
Vemos que
, a condição
é satisfeita.
Passo 7
Porém, observamos que
e
. Claramente, o elemento
está em
mas não está em
, ou seja,
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
,
e
, onde
, mas
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
.
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Resplive as equagles
b)
b)
Resolva as seguintes expressōes: