Sejam A, B e C conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se A ∩ B ⊆ A ∩ C então B ⊆ C.

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido: temos três conjuntos, , e . A afirmação que precisamos analisar é: "Se , então ". Isso está relacionado à teoria dos conjuntos, mais especificamente às operações de interseção e à relação de inclusão entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento que está na interseção de e também está na interseção de e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa condição implica que todo elemento de está em , ou seja, . Para isso, vamos tentar encontrar um contra-exemplo onde é verdadeiro, mas não é.

Passo 4

Vamos definir os conjuntos da seguinte forma:

Passo 5

Calculando as interseções:

Passo 6

Vemos que , a condição é satisfeita.

Passo 7

Porém, observamos que e . Claramente, o elemento está em mas não está em , ou seja, .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é , e , onde , mas .

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