Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar um teorema de teoria dos conjuntos. O teorema é: se é um subconjunto de ( ), então a interseção de com a diferença entre e ( ) é o conjunto vazio ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser um subconjunto, como funciona a interseção de conjuntos, a diferença entre conjuntos e o que representa o conjunto vazio. Vamos desvendar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema.
  • Hipótese: – Isso significa que todo elemento de também está em .
  • Tese: – Isso quer dizer que não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em e na diferença entre e .

Passo 3

Agora, vamos provar que se , então realmente não tem nenhum elemento, ou seja, é o conjunto vazio.
Primeiro, lembremos que a diferença entre conjuntos consiste nos elementos que estão em mas não estão em .
Agora, para qualquer elemento que esteja em , ele deveria satisfazer duas condições ao mesmo tempo:
  1. , o que implica que e
Mas, pela hipótese , todo elemento que está em também está em . Isso cria uma contradição, porque estamos supondo que não está em ao mesmo tempo em que está em . Portanto, não pode existir tal elemento , o que significa que não tem elementos.

Resposta

Portanto, provamos que se , então .

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Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. e .
Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então .
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