Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar um teorema de teoria dos conjuntos. O teorema é: se
é um subconjunto de
(
), então a interseção de
com a diferença entre
e
(
) é o conjunto vazio (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser um subconjunto, como funciona a interseção de conjuntos, a diferença entre conjuntos e o que representa o conjunto vazio. Vamos desvendar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema.
- Hipótese:
– Isso significa que todo elemento de também está em . - Tese:
– Isso quer dizer que não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em e na diferença entre e .
Passo 3
Agora, vamos provar que se
, então
realmente não tem nenhum elemento, ou seja, é o conjunto vazio.
Primeiro, lembremos que a diferença entre conjuntos
consiste nos elementos que estão em
mas não estão em
.
Agora, para qualquer elemento
que esteja em
, ele deveria satisfazer duas condições ao mesmo tempo:
-
-
, o que implica que e
Mas, pela hipótese
, todo elemento
que está em
também está em
. Isso cria uma contradição, porque estamos supondo que
não está em
ao mesmo tempo em que está em
. Portanto, não pode existir tal elemento
, o que significa que
não tem elementos.
Resposta
Portanto, provamos que se
, então
.
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Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
e
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Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
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então
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