Sejam
e
conjuntos. Mostre as seguintes afirmações:
Passo 1
Então, a gente vai resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto das partes de
é igual à interseção dos conjuntos das partes de
e de
. A matéria envolvida aqui é teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção de conjuntos e o conjunto das partes. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses conceitos e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é interseção de conjuntos. Quando a gente tem dois conjuntos,
e
, a interseção
é o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em
quanto em
. Ou seja, só os elementos que existem nos dois conjuntos entram na interseção.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o conjunto das partes, representado por
. O conjunto das partes de um conjunto
, escrito
, é o conjunto que contém todos os possíveis subconjuntos de
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 4
Vamos mostrar que todo subconjunto de
está tanto em
quanto em
. Se pegarmos um subconjunto qualquer
, isso significa que todo elemento de
está tanto em
quanto em
. Logo,
é um subconjunto de
e também um subconjunto de
, ou seja,
e
. Portanto,
está na interseção
.
Passo 5
Agora, vamos ver o contrário. Se temos um conjunto
que está na interseção
, isso quer dizer que
é um subconjunto de
e também é um subconjunto de
. Se
é subconjunto de ambos, então todos os elementos de
estão em
e em
, ou seja, estão em
. Assim,
é um subconjunto de
e, portanto,
.
Resposta
Concluímos que
.