Sejam A, B, C e D conjuntos. Mostre as seguintes afirmações: wp(A ∩ B) = wp(A) ∩ wp(B)

Passo 1

Então, a gente vai resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto das partes de é igual à interseção dos conjuntos das partes de e de . A matéria envolvida aqui é teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção de conjuntos e o conjunto das partes. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses conceitos e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interseção de conjuntos. Quando a gente tem dois conjuntos, e , a interseção é o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em quanto em . Ou seja, só os elementos que existem nos dois conjuntos entram na interseção.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o conjunto das partes, representado por . O conjunto das partes de um conjunto , escrito , é o conjunto que contém todos os possíveis subconjuntos de . Por exemplo, se , então .

Passo 4

Vamos mostrar que todo subconjunto de está tanto em quanto em . Se pegarmos um subconjunto qualquer , isso significa que todo elemento de está tanto em quanto em . Logo, é um subconjunto de e também um subconjunto de , ou seja, e . Portanto, está na interseção .

Passo 5

Agora, vamos ver o contrário. Se temos um conjunto que está na interseção , isso quer dizer que é um subconjunto de e também é um subconjunto de . Se é subconjunto de ambos, então todos os elementos de estão em e em , ou seja, estão em . Assim, é um subconjunto de e, portanto, .

Resposta

Concluímos que .

Exercícios relacionados