Usando as propriedades do determinante, demonstre que o determinante da matrizz a seguir é zero:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz 3x3 e a gente precisa mostrar que o determinante dela é igual a zero. O conteúdo que vamos usar envolve propriedades de determinantes e manipulação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como realizar operações nas linhas da matriz sem mudar o valor do determinante e identificar situações em que o determinante se torna zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma das propriedades dos determinantes é que se duas linhas de uma matriz forem múltiplos uma da outra, o determinante é zero. Outra propriedade importante é que se a gente somar ou subtrair múltiplos de uma linha para outra, o determinante não muda.
Olha só a matriz que a gente tem:
a & b & c 2a & 2b+x & 2c+x+y 3a & 3b+2x & 3c+2x+2y
Vamos tentar simplificar as linhas 2 e 3 em relação à linha 1.
Passo 3
Vamos trabalhar com a linha 2 primeiro. Observamos que os coeficientes de 2a - 2a &= 0 2b + x - 2b &= x 2c + x + y - 2c &= x + y , [0 x x + y] e na linha 2 são múltiplos de 2 em relação à linha 1.
Podemos subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2 para eliminar os termos com , e :
Linha 2 - 2 × Linha 1:
Então, a nova linha 2 fica:
Passo 4
Agora vamos fazer algo semelhante com a linha 3. Observamos que os coeficientes de 3a - 3a &= 0 3b + 2x - 3b &= 2x 3c + 2x + 2y - 3c &= 2x + 2y , [0 2x 2x + 2y] e na linha 3 são múltiplos de 3 em relação à linha 1.
Podemos subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 3:
Linha 3 - 3 × Linha 1:
Então, a nova linha 3 fica:
Passo 5
Agora nossa matriz ficou assim após as operações:
a & b & c 0 & x & x + y 0 & 2x & 2x + 2y
Vamos observar as linhas 2 e 3. Note que a linha 3 é exatamente o dobro da linha 2:
[0 2x 2x + 2y] = 2 times [0 x x + y]
Isso significa que a linha 3 é múltiplo da linha 2, ou seja, as duas linhas são lineares dependentes.
Passo 6
Como uma das propriedades dos determinantes diz que se duas linhas de uma matriz são múltiplos uma da outra, o determinante dessa matriz é zero, podemos concluir que o determinante da nossa matriz original é zero.