Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
,
,
e que
e
. Prove que
é finito e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos finitos, especificamente sobre dois conjuntos
e
onde
está dentro de
, ou seja,
. Sabemos que o número de elementos em
é
(com
) e que
tem exatamente 1 elemento. Nosso objetivo é provar que o conjunto
(que são todos os elementos de
que não estão em
) também é finito e que o número de elementos em
é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também pertence a
. Como
,
tem exatamente um elemento. Vamos chamar esse elemento de
.
Passo 3
O conjunto
consiste em todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Como
tem apenas um elemento
,
é basicamente o conjunto
sem esse elemento
.
Passo 4
Como
tem
elementos e estamos removendo um elemento (
), o número de elementos restantes em
será
. Isso é porque
representa exatamente a quantidade de elementos que sobra após remover um de
.
Passo 5
Além disso, já que
é finito com
elementos e estamos removendo apenas um elemento, o conjunto
também será finito. Isso segue da propriedade de que um subconjunto de um conjunto finito também é finito.
Resposta
Portanto,
é um conjunto finito e o número de elementos em
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
. Prove que
.
Seja
. Mostre que
é finito, se e somente se, existir uma bijeção de
sobre um conjunto finito
.
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de em
.
Determine o número de injeções possíveis de
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de sobrejeções possíveis de em
.
Determine o número de sobrejeções possíveis de