Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que , , e que e . Prove que é finito e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos finitos, especificamente sobre dois conjuntos e onde está dentro de , ou seja, . Sabemos que o número de elementos em é (com ) e que tem exatamente 1 elemento. Nosso objetivo é provar que o conjunto (que são todos os elementos de que não estão em ) também é finito e que o número de elementos em é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também pertence a . Como , tem exatamente um elemento. Vamos chamar esse elemento de .

Passo 3

O conjunto consiste em todos os elementos que estão em mas não estão em . Como tem apenas um elemento , é basicamente o conjunto sem esse elemento .

Passo 4

Como tem elementos e estamos removendo um elemento ( ), o número de elementos restantes em será . Isso é porque representa exatamente a quantidade de elementos que sobra após remover um de .

Passo 5

Além disso, já que é finito com elementos e estamos removendo apenas um elemento, o conjunto também será finito. Isso segue da propriedade de que um subconjunto de um conjunto finito também é finito.

Resposta

Portanto, é um conjunto finito e o número de elementos em é .

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que . Prove que .
Seja . Mostre que é finito, se e somente se, existir uma bijeção de sobre um conjunto finito .
Sejam e dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de em .
Sejam e dois conjuntos.
Determine o número de sobrejeções possíveis de em .