Suponha que A e B sejam conjuntos finitos tais que B ⊆ A, #(A) = m, #(B) = 1 e que m em N e m > 1. Prove que A - B é finito e que #(A - B) = m - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos finitos, especificamente sobre dois conjuntos e onde está dentro de , ou seja, . Sabemos que o número de elementos em é (com ) e que tem exatamente 1 elemento. Nosso objetivo é provar que o conjunto (que são todos os elementos de que não estão em ) também é finito e que o número de elementos em é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também pertence a . Como , tem exatamente um elemento. Vamos chamar esse elemento de .

Passo 3

O conjunto consiste em todos os elementos que estão em mas não estão em . Como tem apenas um elemento , é basicamente o conjunto sem esse elemento .

Passo 4

Como tem elementos e estamos removendo um elemento ( ), o número de elementos restantes em será . Isso é porque representa exatamente a quantidade de elementos que sobra após remover um de .

Passo 5

Além disso, já que é finito com elementos e estamos removendo apenas um elemento, o conjunto também será finito. Isso segue da propriedade de que um subconjunto de um conjunto finito também é finito.

Resposta

Portanto, é um conjunto finito e o número de elementos em é .

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