Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: que lugar ocupa o número 62417 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente permutar os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7, ou seja, rearranjar todos eles para formar números diferentes. Depois, esses números são colocados em ordem crescente, e nossa missão é descobrir em qual posição está o número 62417. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre permutação, que é basicamente quantas maneiras diferentes podemos arranjar esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos algarismos temos. Aqui, temos 5 algarismos: 1, 2, 4, 6 e 7. Para saber quantos números diferentes podemos formar, usamos a fórmula de permutação simples que é:
Onde
significa “fatorial de n”, ou seja, o produto de todos os números de 1 até n. Então, para 5 algarismos:
Então, temos 120 números diferentes.
Passo 3
Agora, vamos ordenar todos esses números do menor para o maior. Queremos descobrir onde está o 62417 nessa lista. Para isso, vamos analisar cada posição do número e contar quantos números menores existem antes dele.
Passo 4
Vamos começar pelo primeiro dígito do número 62417, que é o 6. Os dígitos menores que 6 são 1, 2, e 4. Para cada um desses dígitos que escolhermos no primeiro lugar, os outros 4 dígitos podem ser arranjados de
maneiras. Então:
Isso significa que existem 72 números antes de qualquer número que comece com 6.
Passo 5
Agora, fixamos o primeiro dígito como 6 e olhamos para o segundo dígito do nosso número alvo, que é 2. Os dígitos disponíveis agora são 1, 2, 4, 7. Os dígitos menores que 2 aqui é só o 1. Para cada número que comece com 6 e tenha 1 no segundo dígito, os outros 3 dígitos podem ser arranjados de
maneiras. Então:
Agora, temos 72 + 6 = 78 números antes de qualquer número que começa com 62.
Passo 6
Continuando, fixamos os dois primeiros dígitos como 6 e 2. O terceiro dígito do número alvo é 4. Os dígitos restantes são 1, 4, 7. Os dígitos menores que 4 aqui é só o 1. Para cada número que começa com 62 e tem 1 no terceiro dígito, os outros 2 dígitos podem ser arranjados de
maneiras. Então:
Agora, temos 78 + 2 = 80 números antes de qualquer número que começa com 624.
Passo 7
Agora, fixamos os três primeiros dígitos como 6, 2 e 4. O quarto dígito do número alvo é 1. Os dígitos restantes são 1 e 7. Não há dígitos menores que 1, então não adicionamos nada aqui.
Passo 8
Por fim, fixamos os quatro primeiros dígitos como 6, 2, 4 e 1. O último dígito é 7, e como é o único que resta, não há mais variações.
Resposta
Então, somando tudo, o número 62417 ocupa a 81ª posição na lista ordenada.
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