Sejam
e
constantes positivas.
Encontre os valores extremos de
sujeita a condição
.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Encontre os valores extremos de
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização onde queremos encontrar os valores extremos da função
sujeita à condição
. Isso está relacionado ao estudo de funções com restrições, usando métodos de otimização como o de Lagrange. Vamos precisar entender como maximizar ou minimizar uma função sob uma condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a condição
representa um círculo unitário no plano
. Queremos encontrar os pontos neste círculo onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 3
Para facilitar, podemos parametrizar as variáveis
e
usando ângulos trigonométricos. Sabemos que qualquer ponto no círculo pode ser representado como:
onde
é o ângulo formado com o eixo
.
Passo 4
Substituindo essas expressões na função
, temos:
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em termos de
.
Passo 5
Para encontrar os extremos, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Portanto,
.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Usando identidades trigonométricas, sabemos que:
Passo 8
Substituindo essas identidades na expressão de
:
Resposta
Os valores extremos de
sujeitos à condição
são
e
. Geometricamente, isso significa que a reta
tangencia o círculo unitário nos pontos onde
atinge seus valores máximos e mínimos.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia, diferencie:
Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à curva
.
Calcule
e
denota o maior inteiro menor que
.