Sejam a e b constantes positivas.
Encontre os valores extremos de x^2 + y^2 = 1 sujeita a condição z = x / a + y / b.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização onde queremos encontrar os valores extremos da função sujeita à condição . Isso está relacionado ao estudo de funções com restrições, usando métodos de otimização como o de Lagrange. Vamos precisar entender como maximizar ou minimizar uma função sob uma condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a condição representa um círculo unitário no plano . Queremos encontrar os pontos neste círculo onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 3

Para facilitar, podemos parametrizar as variáveis e usando ângulos trigonométricos. Sabemos que qualquer ponto no círculo pode ser representado como:
onde é o ângulo formado com o eixo .

Passo 4

Substituindo essas expressões na função , temos:
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em termos de .

Passo 5

Para encontrar os extremos, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Portanto, .

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão para :
Usando identidades trigonométricas, sabemos que:

Passo 8

Substituindo essas identidades na expressão de :

Resposta

Os valores extremos de sujeitos à condição são á e í. Geometricamente, isso significa que a reta tangencia o círculo unitário nos pontos onde atinge seus valores máximos e mínimos.

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