integralC[y d x+(x+y) d y], C é o gráfico de y=x^2+2 x de (0,0) a (2,8).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC [y , dx + (x + y) , dy], onde C é a curva descrita pela equação y = x^2 + 2x, indo do ponto (0,0) até (2,8). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha e como parametrizar uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como a equação está já em função de x, podemos usar x como nosso parâmetro. Vamos definir:
x = t onde t in [0, 2]
Assim, substituindo na equação da curva:
y = t^2 + 2t
Agora temos x e y expressos em termos de t, o que facilita na hora de substituir na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t para substituir na integral:
dx = dxdt , dt = 1 , dt = dt
dy = dydt , dt = (2t + 2) , dt
Essas expressões vão nos ajudar a substituir dx e dy na integral original.

Passo 4

Substituímos x, y, dx e dy na integral:
integralC [y , dx + (x + y) , dy] = integral0^2 [(t^2 + 2t) , dt + (t + t^2 + 2t)(2t + 2) , dt]
Simplificando o termo (x + y):
x + y = t + (t^2 + 2t) = t^2 + 3t
Então, a integral fica:
integral0^2 [t^2 + 2t + (t^2 + 3t)(2t + 2)] , dt

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(t^2 + 3t)(2t + 2) = 2t^3 + 2t^2 + 6t^2 + 6t = 2t^3 + 8t^2 + 6t
Agora, a integral se torna:
integral0^2 [t^2 + 2t + 2t^3 + 8t^2 + 6t] , dt
Somando os termos semelhantes:
2t^3 + 9t^2 + 8t

Passo 6

Agora, integramos cada termo em relação a t:
integral0^2 (2t^3 + 9t^2 + 8t) , dt = 24t^4 + 93t^3 + 82t^2 = 12t^4 + 3t^3 + 4t^2

Passo 7

Por fim, avaliamos a antiderivada nos limites de t = 0 a t = 2:
[ 12(2)^4 + 3(2)^3 + 4(2)^2 ] - [ 12(0)^4 + 3(0)^3 + 4(0)^2 ] = 12(16) + 3(8) + 4(4) = 8 + 24 + 16 = 48

Resposta

O valor da integral é 48.

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