, C é o gráfico de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é a curva descrita pela equação
, indo do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha e como parametrizar uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a equação está já em função de
, podemos usar
como nosso parâmetro. Vamos definir:
Assim, substituindo na equação da curva:
Agora temos
e
expressos em termos de
, o que facilita na hora de substituir na integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
para substituir na integral:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral:
Simplificando o termo
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral se torna:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, integramos cada termo em relação a
:
Passo 7
Por fim, avaliamos a antiderivada nos limites de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
e
denota o maior inteiro menor que
.
Sejam
e
constantes positivas.
Encontre os valores extremos de sujeita a condição
.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Encontre os valores extremos de
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Calcule
, com
.
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas: