Calcule
integral duplaQ f(x+y) d x d y, Q=[0,2] times[0,2] e f(t) denota o maior inteiro menor que t.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde e representa o maior inteiro menor que (a função parte inteira ). Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta na região e dividir essa região em partes onde a função é constante.

Passo 2

Primeiro, observe que retorna o maior inteiro menor ou igual a . Como e variam de 0 a 2, a soma vai de 0 a 4. Portanto, pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, dependendo de onde está dentro desse intervalo.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos dividir a região em sub-regiões onde é constante. Essas sub-regiões correspondem aos intervalos onde está entre:

Passo 4

Agora, vamos determinar a área de cada uma dessas sub-regiões:
  1. Para : Esta é uma região triangular no canto inferior esquerdo do quadrado .
  2. Para : Esta é uma região trapezoidal logo acima do triângulo anterior.
  3. Para : Outra região trapezoidal acima da anterior.
  4. Para : Uma última região triangular no canto superior direito do quadrado .

Passo 5

Vamos calcular a área de cada sub-região:
  1. Área para :
    • É um triângulo com base e altura iguais a 1.
    • Área = .
  2. Área para :
    • É um trapézio com bases de comprimento 1 e 2 e altura 1.
    • Área = .
  3. Área para :
    • Simétrico ao trapézio anterior.
    • Área = .
  4. Área para :
    • É um triângulo com base e altura iguais a 1.
    • Área = .

Passo 6

Agora, multiplicamos a área de cada sub-região pelo valor correspondente de integral duplaQ f(x+y) , dx , dy = 0 times 12 + 1 times 32 + 2 times 32 + 3 times 12 e somamos todos os resultados:

Passo 7

Calculando cada termo:
0 times 12 = 0 1 times 32 = 32 2 times 32 = 3 3 times 12 = 32
Somando todos os termos:
0 + 32 + 3 + 32 = 0 + 3 + 3 = 6

Resposta

A integral dupla é igual a .

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