Calcule
e
denota o maior inteiro menor que
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde
e
representa o maior inteiro menor que
(a função parte inteira
). Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta na região
e dividir essa região em partes onde a função é constante.
Passo 2
Primeiro, observe que
retorna o maior inteiro menor ou igual a
. Como
e
variam de 0 a 2, a soma
vai de 0 a 4. Portanto,
pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, dependendo de onde
está dentro desse intervalo.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos dividir a região
em sub-regiões onde
é constante. Essas sub-regiões correspondem aos intervalos onde
está entre:
Passo 4
Agora, vamos determinar a área de cada uma dessas sub-regiões:
- Para
: Esta é uma região triangular no canto inferior esquerdo do quadrado . - Para
: Esta é uma região trapezoidal logo acima do triângulo anterior. - Para
: Outra região trapezoidal acima da anterior. - Para
: Uma última região triangular no canto superior direito do quadrado .
Passo 5
Vamos calcular a área de cada sub-região:
-
Área para
: - É um triângulo com base e altura iguais a 1.
- Área =
.
-
Área para
: - É um trapézio com bases de comprimento 1 e 2 e altura 1.
- Área =
.
-
Área para
: - Simétrico ao trapézio anterior.
- Área =
.
-
Área para
: - É um triângulo com base e altura iguais a 1.
- Área =
.
Passo 6
Agora, multiplicamos a área de cada sub-região pelo valor correspondente de
e somamos todos os resultados:
Passo 7
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
constantes positivas.
Encontre os valores extremos de sujeita a condição
.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Encontre os valores extremos de
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Usando a regra da cadeia, diferencie:
Calcule
, com
.