Sejam A = (a, 0) e B = (0, a), com a 6= 0. Determine o número x em função de a, de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do triânguloequilátero ABC.​

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos dois pontos no plano: $ A = (a, 0) $ e $ B = (0, a) $, onde $ a $ é diferente de zero. Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que o ponto $ C = (x, x) $ forme um triângulo equilátero com $ A $ e $ B $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de álgebra para igualar os lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ P = (x_1, y_1) $ e $ Q = (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
P = (x1, y1)
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias $ AB $, $ AC $ e $ BC $.

Passo 3

Calculando a distância $ AB $:
AB

Passo 4

Calculando a distância $ AC $ onde $ C = (x, x) $:
AC

Passo 5

Calculando a distância $ BC $:
BC

Passo 6

Como o triângulo $ ABC $ é equilátero, todas as distâncias devem ser iguais:
ABC
Vamos igualar $ AB $ a $ AC $:
AB = AC e AB = BC

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(araiz2)^2 = (raiz2x^2 - 2ax + a^2)^2
2a^2 = 2x^2 - 2ax + a^2

Passo 8

Agora, vamos organizar a equação:
2x^2 - 2ax + a^2 - 2a^2 = 0
2x^2 - 2ax - a^2 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x^2 - ax - a^22 = 0

Passo 9

Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
ax^2 + bx + c = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -a $ e $ c = -\frac{a^2}{2} $.

Passo 10

Substituindo os valores na fórmula:
x = -(-a) pm raiz(-a)^2 - 4 cdot 1 cdot (-a^22)2 cdot 1
x = a pm raiza^2 + 2a^22
x = a pm raiz3a^22
x = a pm araiz32
x = a cdot 1 pm raiz32

Resposta

O valor de $ x $ em função de $ a $ que satisfaz a condição de formar um triângulo equilátero é:
x

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