Sejam A = (a, 0) e B = (0, a), com a 6= 0. Determine o número x em função de a, de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do triânguloequilátero ABC.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos dois pontos no plano: $ A = (a, 0) $ e $ B = (0, a) $, onde $ a $ é diferente de zero. Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que o ponto $ C = (x, x) $ forme um triângulo equilátero com $ A $ e $ B $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de álgebra para igualar os lados do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ P = (x_1, y_1) $ e $ Q = (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias $ AB $, $ AC $ e $ BC $.
Passo 3
Calculando a distância $ AB $:
Passo 4
Calculando a distância $ AC $ onde $ C = (x, x) $:
Passo 5
Calculando a distância $ BC $:
Passo 6
Como o triângulo $ ABC $ é equilátero, todas as distâncias devem ser iguais:
Vamos igualar $ AB $ a $ AC $:
Passo 7
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Agora, vamos organizar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 9
Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -a $ e $ c = -\frac{a^2}{2} $.
Passo 10
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
O valor de $ x $ em função de $ a $ que satisfaz a condição de formar um triângulo equilátero é: