Considere uma variável aleatória X que assume o valor a com probabilidade p e o valor b com probabilidade (1-p). Calcule a variância de X em função de a, b e p.​

Passo 1

Então, a gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir dois valores: $ a $ com probabilidade $ p $ e $ b $ com probabilidade $ 1-p $. Nosso objetivo é calcular a variância dessa variável, que basicamente mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. Para isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade, média esperada e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média esperada de $ X $, que é como a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, é calculada assim:
X

Passo 3

Agora, para calcular a variância, precisamos primeiro encontrar a média esperada de $ X^2 $, ou seja, a média dos quadrados dos valores que $ X $ pode assumir. Isso fica:
X^2

Passo 4

A variância de $ X $ é dada pela diferença entre a média esperada de $ X^2 $ e o quadrado da média esperada de $ X $. Então, temos:
X
Substituindo os valores que calculamos:
X^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Expandindo o quadrado na segunda parte:
(a cdot p + b cdot (1 - p))^2 = a^2 p^2 + 2ab p(1-p) + b^2 (1-p)^2
Substituindo de volta na fórmula da variância:
Var(X) = a^2 p + b^2 (1 - p) - (a^2 p^2 + 2ab p(1-p) + b^2 (1-p)^2)

Passo 6

Agora, vamos simplificar ainda mais os termos:
Var(X) = a^2 p - a^2 p^2 + b^2 (1 - p) - b^2 (1 - p)^2 - 2ab p(1 - p)
Fatorando $ p(1-p) $:
p(1-p)

Resposta

A variância de $ X $ é dada por:
X

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