Considere uma variável aleatória X que assume o valor a com probabilidade p e o valor b com probabilidade (1-p). Calcule a variância de X em função de a, b e p.
Passo 1
Então, a gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir dois valores: $ a $ com probabilidade $ p $ e $ b $ com probabilidade $ 1-p $. Nosso objetivo é calcular a variância dessa variável, que basicamente mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. Para isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade, média esperada e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média esperada de $ X $, que é como a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, é calculada assim:
Passo 3
Agora, para calcular a variância, precisamos primeiro encontrar a média esperada de $ X^2 $, ou seja, a média dos quadrados dos valores que $ X $ pode assumir. Isso fica:
Passo 4
A variância de $ X $ é dada pela diferença entre a média esperada de $ X^2 $ e o quadrado da média esperada de $ X $. Então, temos:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Expandindo o quadrado na segunda parte:
Substituindo de volta na fórmula da variância:
Passo 6
Agora, vamos simplificar ainda mais os termos:
Fatorando $ p(1-p) $:
Resposta
A variância de $ X $ é dada por: