Ultilizando um produto misto , determinamos o volume de um paralelepípedo que tem u= ( 2, -6 , 2) e v = ( 0, 4 , -2) e w=( 2, 2, -4) com arestas adjacentes o volume é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com vetores e determinantes. Para resolver, vamos precisar dos vetores que formam as arestas do paralelepípedo e aplicar o produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores fornecidos:
  • $ \mathbf{u} = (2, -6, 2) $
  • $ \mathbf{v} = (0, 4, -2) $
  • $ \mathbf{w} = (2, 2, -4) $
Esses vetores representam as arestas adjacentes do paralelepípedo.

Passo 3

O produto misto de três vetores u, v e w nos dá o volume do paralelepípedo formado por eles. A fórmula do produto misto é dada pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Volume = |u cdot (v times w)| = | ux & uy & uz vx & vy & vz wx & wy & wz |

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores e calcular o determinante:
2 & -6 & 2 0 & 4 & -2 2 & 2 & -4
Calculando o determinante:
2 times (4 times -4 - (-2) times 2) - (-6) times (0 times -4 - (-2) times 2) + 2 times (0 times 2 - 4 times 2)
Simplificando cada termo:
2 times (-16 - (-4)) - (-6) times (0 - (-4)) + 2 times (0 - 8)
2 times (-12) + 6 times 4 + 2 times (-8)
-24 + 24 - 16 = -16

Passo 5

Como o volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
|Volume| = |-16| = 16

Resposta

O volume do paralelepípedo é 16 unidades cúbicas.

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