Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e)
, onde
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
com a operação
definida por
é um grupo. Para isso, vamos usar os conceitos de Teoria de Grupos, que incluem verificar se a operação é fechada, se ela é associativa, se existe um elemento neutro e se todo elemento tem um inverso dentro do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a operação
é fechada em
. Isso significa que, ao aplicar
a dois elementos de
, o resultado também deve estar em
.
Como
é o conjunto dos números inteiros, somando dois inteiros dá sempre um inteiro. Além disso,
é sempre
(que são inteiros) e somando isso a
(inteiro) também dá um inteiro. Portanto, a operação
é fechada.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a operação
é associativa. Ou seja, precisamos ver se
para todos
.
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Vemos que ambos os lados são iguais, então a operação
é associativa.
Passo 4
Vamos encontrar o elemento neutro do grupo, ou seja, um par
tal que
para todo
.
Aplicando a operação:
Isso nos dá duas equações:
Portanto, o elemento neutro é
.
Passo 5
Por último, vamos verificar se todo elemento
em
tem um inverso
tal que
Aplicando a operação:
Isso nos dá:
Então, o inverso de
é
, que também está em
.
Resposta
Sim,
é um grupo, pois a operação
satisfaz os axiomas de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
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Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а) , onde
а)
Sejam
. Mostre que:
а)
а)
Defina Potência em um grupo
.
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
a)
a)