Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) (Z times Z, *), onde
& Z : conjunto dos números inteiros e (^*) é a operação: & (a, b) *(m, n)=(a+m,(-1)^m cdot b+n), a, b, m, n in Z úéçã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto (a, b) * (m, n) = (a + m, (-1)^m cdot b + n) com a operação definida por
é um grupo. Para isso, vamos usar os conceitos de Teoria de Grupos, que incluem verificar se a operação é fechada, se ela é associativa, se existe um elemento neutro e se todo elemento tem um inverso dentro do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a operação é fechada em . Isso significa que, ao aplicar a dois elementos de , o resultado também deve estar em .
Como é o conjunto dos números inteiros, somando dois inteiros dá sempre um inteiro. Além disso, é sempre (que são inteiros) e somando isso a (inteiro) também dá um inteiro. Portanto, a operação é fechada.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a operação ( (a, b) * (m, n) ) * (p, q) = (a, b) * ( (m, n) * (p, q) ) é associativa. Ou seja, precisamos ver se
& ( (a, b) * (m, n) ) * (p, q) =, & (a + m, (-1)^m cdot b + n) * (p, q) =, & ( (a + m) + p, (-1)^p cdot [(-1)^m cdot b + n] + q ) =, & (a + m + p, (-1)^m + p cdot b + (-1)^p cdot n + q)
para todos & (a, b) * ( (m, n) * (p, q) ) =, & (a, b) * (m + p, (-1)^p cdot n + q) =, & ( a + (m + p), (-1)^m + p cdot b + [(-1)^p cdot n + q] ) =, & (a + m + p, (-1)^m + p cdot b + (-1)^p cdot n + q) .
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Vemos que ambos os lados são iguais, então a operação é associativa.

Passo 4

Vamos encontrar o elemento neutro do grupo, ou seja, um par (a, b) * (e1, e2) = (a, b) tal que
(a + e1, (-1)^e1 cdot b + e2) = (a, b)
para todo .
Aplicando a operação:
Isso nos dá duas equações:
Portanto, o elemento neutro é .

Passo 5

Por último, vamos verificar se todo elemento (a, b) * (c, d) = (0, 0) em (a + c, (-1)^c cdot b + d) = (0, 0) tem um inverso tal que
Aplicando a operação:
Isso nos dá:
Então, o inverso de é , que também está em .

Resposta

Sim, é um grupo, pois a operação satisfaz os axiomas de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

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Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а) (M, *), onde
M=(ll a & a 0 & 0 ) ; a in R el a neq 0 e (*) é a operação usual de muéçãçã
Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
а) (a^prime)^prime=a
Defina Potência em um grupo (G, *).
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y in A. Prove que:
a) barx=bary Leftrightarrow x sim y