Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а)
, onde
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Então, primeiro, vamos entender do que estamos falando:
-
Conjunto
: É formado por matrizes do tipo ondeé um número real diferente de zero ( ). -
Operação
: É a multiplicação comum de matrizes.
Para ser um grupo,
precisa satisfazer quatro propriedades: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é fechado sob a operação de multiplicação. Isso significa que se a gente multiplicar duas matrizes de
, o resultado também deve estar em
.
Vamos multiplicar duas matrizes genéricas de
:
$$
*
$$
Vimos que o resultado é outra matriz do mesmo tipo, com
(pois
e
). Então, o conjunto
é fechado sob multiplicação.
Passo 3
A propriedade de associatividade diz que para quaisquer três elementos
de
, a seguinte igualdade deve valer:
Como estamos lidando com a multiplicação de matrizes, que é associativa por natureza, essa propriedade é automaticamente satisfeita. Então, a associatividade está garantida.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um elemento neutro
em
tal que, para qualquer matriz
em
:
Vamos supor que
tenha a forma:
Multiplicando
por uma matriz genérica
de
:
$$
E * A =
*
$$
Queremos que isso seja igual a
, ou seja:
$$
$$
Isso significa que
, e como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Portanto, o elemento neutro é:
Passo 5
Por fim, cada elemento
em
deve ter um inverso
também em
tal que:
onde
é o elemento neutro encontrado anteriormente.
Vamos considerar uma matriz
em
:
Queremos encontrar
na forma:
tal que:
Fazendo a multiplicação:
$$
A * B =
*
$$
Queremos que isso seja igual a
:
$$
$$
Então,
, o que implica que:
Portanto, o inverso de
é:
Como
,
existe e está em
, garantindo que
pertence a
.
Resposta
Sim, o conjunto
forma um grupo. Todas as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inversos estão satisfeitas.
Exercícios relacionados
Sejam
. Mostre que:
а)
а)
Enuncie o Teorema de Euler e dê aplicações.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) , onde
e)
Defina Potência em um grupo
.