Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а) (M, *), onde
M=(ll a & a 0 & 0 ) ; a in R el a neq 0 e (*) é a operação usual de muéçãçã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto a & a 0 & 0 com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Então, primeiro, vamos entender do que estamos falando:
  • Conjunto : É formado por matrizes do tipo
    onde é um número real diferente de zero ( ).
  • Operação : É a multiplicação comum de matrizes.
Para ser um grupo, precisa satisfazer quatro propriedades: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a & a 0 & 0 * b & b 0 & 0 = a cdot b + a cdot 0 & a cdot b + a cdot 0 0 cdot b + 0 cdot 0 & 0 cdot b + 0 cdot 0 = ab & ab 0 & 0 é fechado sob a operação de multiplicação. Isso significa que se a gente multiplicar duas matrizes de , o resultado também deve estar em .

Vamos multiplicar duas matrizes genéricas de :
$$

*

$$
Vimos que o resultado é outra matriz do mesmo tipo, com (pois e ). Então, o conjunto é fechado sob multiplicação.

Passo 3

A propriedade de associatividade diz que para quaisquer três elementos (A * B) * C = A * (B * C) de , a seguinte igualdade deve valer:
Como estamos lidando com a multiplicação de matrizes, que é associativa por natureza, essa propriedade é automaticamente satisfeita. Então, a associatividade está garantida.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um elemento neutro E * A = A * E = A em E = e & e 0 & 0 tal que, para qualquer matriz E * A = e & e 0 & 0 * a & a 0 & 0 = e cdot a + e cdot 0 & e cdot a + e cdot 0 0 cdot a + 0 cdot 0 & 0 cdot a + 0 cdot 0 = ea & ea 0 & 0 em ea & ea 0 & 0 = a & a 0 & 0 :
e = 1
Vamos supor que E = 1 & 1 0 & 0 tenha a forma:

Multiplicando por uma matriz genérica de :
$$
E * A =

*

$$

Queremos que isso seja igual a , ou seja:
$$

$$
Isso significa que , e como , podemos dividir ambos os lados por :
Portanto, o elemento neutro é:

Passo 5

Por fim, cada elemento A * B = B * A = E em A = a & a 0 & 0 deve ter um inverso B = b & b 0 & 0 também em A * B = E tal que:
A * B = a & a 0 & 0 * b & b 0 & 0 = ab & ab 0 & 0
onde ab & ab 0 & 0 = 1 & 1 0 & 0 é o elemento neutro encontrado anteriormente.
Vamos considerar uma matriz b = 1a em B = 1a & 1a 0 & 0 :
Queremos encontrar na forma:
tal que:

Fazendo a multiplicação:
$$
A * B =

*

$$

Queremos que isso seja igual a :
$$

$$
Então, , o que implica que:
Portanto, o inverso de é:
Como , existe e está em , garantindo que pertence a .

Resposta

Sim, o conjunto forma um grupo. Todas as propriedades de fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inversos estão satisfeitas.

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Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
а) (a^prime)^prime=a
Enuncie o Teorema de Euler e dê aplicações.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) (Z times Z, *), onde
& Z : conjunto dos números inteiros e (^*) é a operação: & (a, b) *(m, n)=(a+m,(-1)^m cdot b+n), a, b, m, n in Z úéçã
Defina Potência em um grupo (G, *).