Para quais valores de , os pontos e se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir quais valores de fazem com que os pontos , , e estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar a teoria de vetores e o cálculo de determinantes. Precisamos verificar quando o determinante formado pelos vetores , e é igual a zero, pois isso indica que os vetores são coplanares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus:
-1 times (0 times 1 - (-1) times 1) - 2 times ( (k^2 - 1) times 1 - (-2) times 1 ) + 1 times ( (k^2 - 1) times 1 - 0 times (-2) ) = 0
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-1 times (0 times 1 - (-1) times 1) = -1 times (0 + 1) = -1
-2 times ( (k^2 - 1) times 1 - (-2) times 1 ) = -2 times (k^2 - 1 + 2) = -2 times (k^2 + 1) = -2k^2 - 2
1 times ( (k^2 - 1) times 1 - 0 times (-2) ) = 1 times (k^2 - 1) = k^2 - 1