Para quais valores de k, os pontos A=(2,-2,1), B=(1, k^2-3,-1), C=(4,-2,2) e D=(3,-3,2) se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolha uma opção:
a. pm 2
b. pm 1
c. pm raiz2
d. pm raiz3
e. pm raiz5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir quais valores de fazem com que os pontos , , e estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar a teoria de vetores e o cálculo de determinantes. Precisamos verificar quando o determinante formado pelos vetores , e é igual a zero, pois isso indica que os vetores são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (1 - 2, (k^2 - 3) - (-2), -1 - 1) = (-1, k^2 - 1, -2) , AC = C - A = (4 - 2, -2 - (-2), 2 - 1) = (2, 0, 1) e AD = D - A = (3 - 2, -3 - (-2), 2 - 1) = (1, -1, 1) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
-1 & 2 & 1 k^2 - 1 & 0 & -1 -2 & 1 & 1 = 0
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus:
-1 times (0 times 1 - (-1) times 1) - 2 times ( (k^2 - 1) times 1 - (-2) times 1 ) + 1 times ( (k^2 - 1) times 1 - 0 times (-2) ) = 0

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
-1 times (0 times 1 - (-1) times 1) = -1 times (0 + 1) = -1
-2 times ( (k^2 - 1) times 1 - (-2) times 1 ) = -2 times (k^2 - 1 + 2) = -2 times (k^2 + 1) = -2k^2 - 2
1 times ( (k^2 - 1) times 1 - 0 times (-2) ) = 1 times (k^2 - 1) = k^2 - 1
Agora, somamos tudo:
-1 - 2k^2 - 2 + k^2 - 1 = 0
Simplificando:
-2k^2 + k^2 -1 -2 -1 = 0 Rightarrow -k^2 -4 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação:
-k^2 -4 = 0 Rightarrow -k^2 = 4 Rightarrow k^2 = -4
Aqui, percebemos que não tem solução real, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo.

Resposta

Nenhum dos valores de listados torna os pontos coplanares. Portanto, não há solução entre as opções apresentadas.

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