Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(a) det A B=det B A
(b) Se A é ortogonal, então det A= pm 1.
© det(-A)=-det A
(d) det(2 A) det(3 B)=6 det A det B
(e) Se B é invertível então det(B^-1 A B)=det A
(f) Se det(A^3)=1, então det(A)=1
(g) Se A=[ai j]4 times 4, então a41 C31+a42 C32+a43 C33+a44 C34=0

Passo 1

Vamos resolver cada uma das proposições sobre determinantes de matrizes quadradas. Para isso, vamos usar conceitos como propriedades de determinantes, matrizes ortogonais, e operações com determinantes.

Passo 2

(a)
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes: . Além disso, a multiplicação de matrizes é comutativa em determinantes, ou seja, . Portanto, .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 3

(b) Se é ortogonal, então .
Uma matriz ortogonal satisfaz , onde é a matriz identidade. O determinante de é . Logo, , o que implica que .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 4

©
Quando multiplicamos uma matriz por , cada elemento da matriz é multiplicado por . O determinante de em uma matriz de ordem será . Portanto, .
Se for par, ; se for ímpar, .
Como o enunciado não especifica, a proposição só é verdadeira quando é ímpar.
Resposta: Falso.

Passo 5

(d) det(2 A) = 2^n det(A)
Para uma matriz de ordem det(3 B) = 3^n det(B) , det(2 A) cdot det(3 B) = 2^n cdot 3^n cdot det(A) cdot det(B) = (2 cdot 3)^n cdot det(A) cdot det(B) = 6^n cdot det(A) cdot det(B) . Assim:
Portanto:
A proposição afirma que é , o que só é verdadeiro se . Como , a proposição é falsa.
Resposta: Falso.

Passo 6

(e) Se det(B^-1 A B) = det(B^-1) cdot det(A) cdot det(B) é invertível então det(B^-1 A B) = 1det(B) cdot det(A) cdot det(B) = det(A)
Usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
Sabemos que . Portanto:
Resposta: Verdadeiro.

Passo 7

(f) Se , então
Sabemos que . As soluções para são , , e . No entanto, como é uma matriz real, deve ser real, então .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 8

(g) Se , então
Aqui, representa os cofatores da terceira linha. A soma ). Porém, na proposição, os índices das entradas da matriz são da quarta linha, não da terceira. Portanto, a soma envolve elementos de linhas diferentes e não representa nenhuma propriedade conhecida dos determinantes.
Resposta: Falso.

Resposta

(a) V; (b) V; © F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) F.

Exercícios relacionados