Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(a)
(b) Se
é ortogonal, então
.
©
(d)
(e) Se
é invertível então
(f)
, então
(g) Se
, então
(a)
(b) Se
©
(d)
(e) Se
(f)
(g) Se
Passo 1
Vamos resolver cada uma das proposições sobre determinantes de matrizes quadradas. Para isso, vamos usar conceitos como propriedades de determinantes, matrizes ortogonais, e operações com determinantes.
Passo 2
(a)
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
. Além disso, a multiplicação de matrizes é comutativa em determinantes, ou seja,
. Portanto,
.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 3
(b) Se
é ortogonal, então
.
Uma matriz ortogonal satisfaz
, onde
é a matriz identidade. O determinante de
é
. Logo,
, o que implica que
.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 4
©
Quando multiplicamos uma matriz
por
, cada elemento da matriz é multiplicado por
. O determinante de
em uma matriz de ordem
será
. Portanto,
.
Se
for par,
; se
for ímpar,
.
Como o enunciado não especifica, a proposição só é verdadeira quando
é ímpar.
Resposta: Falso.
Passo 5
(d)
Para uma matriz de ordem
,
. Assim:
Portanto:
A proposição afirma que é
, o que só é verdadeiro se
. Como
, a proposição é falsa.
Resposta: Falso.
Passo 6
(e) Se
é invertível então
Usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
Sabemos que
. Portanto:
Resposta: Verdadeiro.
Passo 7
(f) Se
, então
Sabemos que
. As soluções para
são
,
, e
. No entanto, como
é uma matriz real,
deve ser real, então
.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 8
(g) Se
, então
Aqui,
representa os cofatores da terceira linha. A soma
). Porém, na proposição, os índices das entradas da matriz são da quarta linha, não da terceira. Portanto, a soma envolve elementos de linhas diferentes e não representa nenhuma propriedade conhecida dos determinantes.
Resposta: Falso.
Resposta
(a) V; (b) V; © F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) F.