Sejam e matrizes quadradas de ordem . Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(a)
(b) Se é ortogonal, então .
©
(d)
(e) Se é invertível então
(f) , então
(g) Se , então

Passo 1

Vamos resolver cada uma das proposições sobre determinantes de matrizes quadradas. Para isso, vamos usar conceitos como propriedades de determinantes, matrizes ortogonais, e operações com determinantes.

Passo 2

(a)
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes: . Além disso, a multiplicação de matrizes é comutativa em determinantes, ou seja, . Portanto, .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 3

(b) Se é ortogonal, então .
Uma matriz ortogonal satisfaz , onde é a matriz identidade. O determinante de é . Logo, , o que implica que .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 4

©
Quando multiplicamos uma matriz por , cada elemento da matriz é multiplicado por . O determinante de em uma matriz de ordem será . Portanto, .
Se for par, ; se for ímpar, .
Como o enunciado não especifica, a proposição só é verdadeira quando é ímpar.
Resposta: Falso.

Passo 5

(d)
Para uma matriz de ordem , . Assim:
Portanto:
A proposição afirma que é , o que só é verdadeiro se . Como , a proposição é falsa.
Resposta: Falso.

Passo 6

(e) Se é invertível então
Usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
Sabemos que . Portanto:
Resposta: Verdadeiro.

Passo 7

(f) Se , então
Sabemos que . As soluções para são , , e . No entanto, como é uma matriz real, deve ser real, então .
Resposta: Verdadeiro.

Passo 8

(g) Se , então
Aqui, representa os cofatores da terceira linha. A soma ). Porém, na proposição, os índices das entradas da matriz são da quarta linha, não da terceira. Portanto, a soma envolve elementos de linhas diferentes e não representa nenhuma propriedade conhecida dos determinantes.
Resposta: Falso.

Resposta

(a) V; (b) V; © F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) F.

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Determine as equações das retas às quais pertencem os pares de pontos abaixo e classifique-as em crescentes ou decrescentes. e ;
Considere a equação matricial , onde e são matrizes invertíveis
(a) Determine em função de e .
(b) Calcule , se
Dados os vetores e , determinar e .
Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(a)
(b)