Vamos resolver cada uma das proposições sobre determinantes de matrizes quadradas. Para isso, vamos usar conceitos como propriedades de determinantes, matrizes ortogonais, e operações com determinantes.
Passo 2
(a)
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes: . Além disso, a multiplicação de matrizes é comutativa em determinantes, ou seja, . Portanto, .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 3
(b) Se é ortogonal, então .
Uma matriz ortogonal satisfaz , onde é a matriz identidade. O determinante de é . Logo, , o que implica que .
Quando multiplicamos uma matriz por , cada elemento da matriz é multiplicado por . O determinante de em uma matriz de ordem será . Portanto, .
Se for par, ; se for ímpar, .
Como o enunciado não especifica, a proposição só é verdadeira quando é ímpar.
Resposta: Falso.
Passo 5
(d)
Para uma matriz de ordem , . Assim:
Portanto:
A proposição afirma que é , o que só é verdadeiro se . Como , a proposição é falsa.
Resposta: Falso.
Passo 6
(e) Se é invertível então
Usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
Sabemos que . Portanto:
Resposta: Verdadeiro.
Passo 7
(f) Se , então
Sabemos que . As soluções para são , , e . No entanto, como é uma matriz real, deve ser real, então .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 8
(g) Se , então
Aqui, representa os cofatores da terceira linha. A soma ). Porém, na proposição, os índices das entradas da matriz são da quarta linha, não da terceira. Portanto, a soma envolve elementos de linhas diferentes e não representa nenhuma propriedade conhecida dos determinantes.