Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a adjugada da matriz , que é conhecida como , e depois, se possível, encontrar a matriz inversa de , denotada por . A adjugada é super útil porque ela está diretamente ligada ao cálculo da inversa, especialmente através da fórmula:
Então, vamos precisar saber como calcular determinantes, cofatores e entender a estrutura das matrizes que vamos trabalhar.
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, vamos calcular o determinante de , já que ele é fundamental para encontrar a adjugada e a inversa.
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Então:
Passo 4
Agora que já temos o determinante (), que é diferente de zero, sabemos que a matriz é inversível. Vamos calcular os cofatores para formar a adjugada.
Passo 5
Os cofatores são calculados subtraindo as menores deteminadas das matrizes menores correspondentes a cada elemento de e aplicando sinais alternados. Vamos calcular cada cofactor:
Passo 6
Agora, formando a matriz de cofatores:
A adjugada é a transposta dessa matriz de cofatores:
Passo 7
Com a adjugada e o determinante em mãos, podemos agora calcular a matriz inversa usando a fórmula mencionada:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda matriz:
Essa é uma matriz block diagonal, ou seja, tem blocos separados na diagonal principal. Isso facilita bastante os cálculos!
Passo 9
Para uma matriz block diagonal estruturada como:
A adjugada e a inversa também são block diagonais, compostas pelas adjugadas e inversas dos blocos e , respectivamente.
Passo 10
Vamos identificar os blocos e :
Primeiro, vamos calcular a adjugada de :
Para uma matriz 2x2:
Onde , , , :
Passo 11
Para o bloco , que é diagonal, a adjugada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos trocados se necessário. No caso de :
Passo 12
Assim, a adjugada da matriz completa é:
Passo 13
Agora, para encontrar a inversa de , usamos a fórmula .