Calcule adj(A) e quando existir calcule A^-1, para as seguintes matrizes :
(a) [ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1]
(b) [cccc2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a adjugada da matriz A^-1 = 1det(A) adj(A) , que é conhecida como , e depois, se possível, encontrar a matriz inversa de , denotada por . A adjugada é super útil porque ela está diretamente ligada ao cálculo da inversa, especialmente através da fórmula:
Então, vamos precisar saber como calcular determinantes, cofatores e entender a estrutura das matrizes que vamos trabalhar.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
A = 2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1
Primeiro, vamos calcular o determinante de , já que ele é fundamental para encontrar a adjugada e a inversa.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = 2 cdot det 2 & 0 -2 & 1 - 1 cdot det -1 & 0 3 & 1 + 3 cdot det -1 & 2 3 & -2
Calculando cada menor:
det 2 & 0 -2 & 1 = (2)(1) - (0)(-2) = 2
det -1 & 0 3 & 1 = (-1)(1) - (0)(3) = -1
det -1 & 2 3 & -2 = (-1)(-2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4
Então:
det(A) = 2(2) - 1(-1) + 3(-4) = 4 + 1 - 12 = -7

Passo 4

Agora que já temos o determinante ( ), que é diferente de zero, sabemos que a matriz é inversível. Vamos calcular os cofatores para formar a adjugada.

Passo 5

Os cofatores são calculados subtraindo as menores deteminadas das matrizes menores correspondentes a cada elemento de C11 = det 2 & 0 -2 & 1 = 2 e aplicando sinais alternados. Vamos calcular cada cofactor:
C12 = -det -1 & 0 3 & 1 = -(-1) = 1
C13 = det -1 & 2 3 & -2 = -4
C21 = -det 1 & 3 -2 & 1 = -(1 cdot 1 - 3 cdot (-2)) = -(1 + 6) = -7
C22 = det 2 & 3 3 & 1 = (2)(1) - (3)(3) = 2 - 9 = -7
C23 = -det 2 & 1 3 & -2 = -((2)(-2) - (1)(3)) = -(-4 -3) = 7
C31 = det 1 & 3 2 & 0 = (1)(0) - (3)(2) = -6
C32 = -det 2 & 3 -1 & 0 = -((2)(0) - (3)(-1)) = -(0 +3) = -3
C33 = det 2 & 1 -1 & 2 = (2)(2) - (1)(-1) = 4 +1 =5

Passo 6

Agora, formando a matriz de cofatores:
Cof(A) = 2 & 1 & -4 -7 & -7 & 7 -6 & -3 & 5
A adjugada é a transposta dessa matriz de cofatores:
adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5

Passo 7

Com a adjugada e o determinante em mãos, podemos agora calcular a matriz inversa usando a fórmula mencionada:
A^-1 = 1det(A) adj(A) = 1-7 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57

Passo 8

Agora, vamos para a segunda matriz:
B = 2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6
Essa é uma matriz block diagonal, ou seja, tem blocos separados na diagonal principal. Isso facilita bastante os cálculos!

Passo 9

Para uma matriz block diagonal estruturada como:
B & 0 0 & C
A adjugada e a inversa também são block diagonais, compostas pelas adjugadas e inversas dos blocos e , respectivamente.

Passo 10

Vamos identificar os blocos B = 2 & -1 1 & 3 , C = 1 & 0 0 & 6 e adj(B) = d & -b -c & a :
adj(B) = 3 & 1 -1 & 2
Primeiro, vamos calcular a adjugada de :
Para uma matriz 2x2:
Onde , , , :

Passo 11

Para o bloco adj(C) = 6 & 0 0 & 1 , que é diagonal, a adjugada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos trocados se necessário. No caso de :

Passo 12

Assim, a adjugada da matriz adj(B) = 3 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 1 completa é:

Passo 13

Agora, para encontrar a inversa de det(B) = (2)(3) - (-1)(1) = 6 +1 =7 , usamos a fórmula B^-1 = 17 3 & 1 -1 & 2 = 37 & 17 -17 & 27 .
Primeiro, calculamos o determinante de C^-1 = 1 & 0 0 & 16 :
Então:
E para o bloco :

Passo 14

Finalmente, a matriz inversa completa B^-1 = 37 & 17 & 0 & 0 -17 & 27 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 16 fica:

Resposta

Para a matriz (a):
adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5
A^-1 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57
Para a matriz (b):
adj(B) = 3 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 1
B^-1 = 37 & 17 & 0 & 0 -17 & 27 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 16

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