Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a adjugada da matriz , que é conhecida como , e depois, se possível, encontrar a matriz inversa de , denotada por . A adjugada é super útil porque ela está diretamente ligada ao cálculo da inversa, especialmente através da fórmula:
Então, vamos precisar saber como calcular determinantes, cofatores e entender a estrutura das matrizes que vamos trabalhar.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, vamos calcular o determinante de , já que ele é fundamental para encontrar a adjugada e a inversa.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Então:

Passo 4

Agora que já temos o determinante ( ), que é diferente de zero, sabemos que a matriz é inversível. Vamos calcular os cofatores para formar a adjugada.

Passo 5

Os cofatores são calculados subtraindo as menores deteminadas das matrizes menores correspondentes a cada elemento de e aplicando sinais alternados. Vamos calcular cada cofactor:

Passo 6

Agora, formando a matriz de cofatores:
A adjugada é a transposta dessa matriz de cofatores:

Passo 7

Com a adjugada e o determinante em mãos, podemos agora calcular a matriz inversa usando a fórmula mencionada:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda matriz:
Essa é uma matriz block diagonal, ou seja, tem blocos separados na diagonal principal. Isso facilita bastante os cálculos!

Passo 9

Para uma matriz block diagonal estruturada como:
A adjugada e a inversa também são block diagonais, compostas pelas adjugadas e inversas dos blocos e , respectivamente.

Passo 10

Vamos identificar os blocos e :
Primeiro, vamos calcular a adjugada de :
Para uma matriz 2x2:
Onde , , , :

Passo 11

Para o bloco , que é diagonal, a adjugada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos trocados se necessário. No caso de :

Passo 12

Assim, a adjugada da matriz completa é:

Passo 13

Agora, para encontrar a inversa de , usamos a fórmula .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Então:
E para o bloco :

Passo 14

Finalmente, a matriz inversa completa fica:

Resposta

Para a matriz (a):
Para a matriz (b):

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , determinar e .
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(a)
(b) Se é ortogonal, então .
©
(d)
(e) Se é invertível então
(f) , então
(g) Se , então
Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2).
Calcule:
(a) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}
Sejam uma base de . Sejam também e a base formada por eles. Considere o vetor . Sendo , o valor de (produto das coordenadas na base ) é:
a) -80
b) -40
c) 80
d) 20
e) -20