Dados os vetores u=(3,0,1) e v=(-2,1,2), determinar proj- u e proj- v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção de vetores! A gente tem dois vetores: u = (3, 0, 1) e v = (-2, 1, 2). O que queremos fazer é encontrar a projeção de u sobre v e a projeção de v sobre u. Pra isso, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor a sobre um vetor b:
projb a = ( a cdot bb cdot b ) b
Aqui, a cdot b é o produto escalar dos vetores a e b, e b cdot b é o produto escalar de b consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular projv u primeiro. Isso significa projetar u sobre v.
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (3)(-2) + (0)(1) + (1)(2) = -6 + 0 + 2 = -4
Depois, calculamos v cdot v:
v cdot v = (-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9
Então, a projeção fica:
projv u = ( -49 ) v = ( -49 ) (-2, 1, 2) = ( 89, -49, -89 )

Passo 4

Agora, vamos calcular proju v, ou seja, projetar v sobre u.
Primeiro, calculamos o produto escalar v cdot u:
v cdot u = (-2)(3) + (1)(0) + (2)(1) = -6 + 0 + 2 = -4
Depois, calculamos u cdot u:
u cdot u = 3^2 + 0^2 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10
Então, a projeção fica:
proju v = ( -410 ) u = ( -25 ) (3, 0, 1) = ( -65, 0, -25 )

Resposta

A projeção de u sobre v é ( dfrac89,, dfrac-49,, dfrac-89 ) e a projeção de v sobre u é ( dfrac-65,, 0,, dfrac-25 ).

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