Sejam B1=(1,-1),(0,2) e B2=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e R^3, respectivamente. Seja a matriz
[T]B1^B2=(cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
Ache T(x, y);

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas bases:
  • [T]B1^B2 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 para
  • para
E uma matriz de transformação linear:
Nosso objetivo é encontrar a transformação linear que leva um vetor de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as bases e funcionam e como a matriz nos ajuda a encontrar a transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. Aqui, é a matriz que representa com relação às bases e .
A matriz tem dimensões porque vai de para . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base em termos da base .

Passo 3

Agora, vamos considerar um vetor qualquer (x, y) = alpha(1, -1) + beta(0, 2) em alpha cdot 1 + beta cdot 0 = x alpha cdot (-1) + beta cdot 2 = y . Para encontrar alpha = x , precisamos expressar - x + 2beta = y implies 2beta = x + y implies beta = x + y2 em termos da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 4

Agora que temos [T(x, y)]B2 = [T]B1^B2 alpha beta = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 x x + y2 e [T(x, y)]B2 = 1 cdot x + 0 cdot x + y2 1 cdot x + 1 cdot x + y2 0 cdot x + (-1) cdot x + y2 = x x + x + y2 - x + y2 , podemos usar a matriz [T(x, y)]B2 = x 3x + y2 - x + y2 para encontrar as coordenadas de na base .
Multiplicamos a matriz pela coluna :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para obter [T(x, y)]B2 = c1 cdot (1, 0, -1) + c2 cdot (0, 1, 2) + c3 cdot (1, 2, 0) no espaço T(x, y) = x(1, 0, -1) + 3x + y2(0, 1, 2) + (-x + y2)(1, 2, 0) , precisamos expressar essas coordenadas na base padrão de Componente 1: & x cdot 1 + 3x + y2 cdot 0 + (-x + y2) cdot 1 = x - x + y2 Componente 2: & x cdot 0 + 3x + y2 cdot 1 + (-x + y2) cdot 2 = 3x + y2 - (x + y) = 3x + y - 2x - 2y2 = x - y2 Componente 3: & x cdot (-1) + 3x + y2 cdot 2 + (-x + y2) cdot 0 = -x + 3x + y = 2x + y . Lembrando que:
onde , , e .
Fazendo a combinação:
Calculando cada componente:

Resposta

Portanto, a transformação linear T(x, y) = ( x - y2,, x - y2,, 2x + y ) é dada por:

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