Sejam e bases de e , respectivamente. Seja a matriz
Ache T(x, y);
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas bases:
[T]B1^B2 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 para
para
E uma matriz de transformação linear:
Nosso objetivo é encontrar a transformação linear que leva um vetor de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as bases e funcionam e como a matriz nos ajuda a encontrar a transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. Aqui, é a matriz que representa com relação às bases e .
A matriz tem dimensões porque vai de para . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base em termos da base .
Passo 3
Agora, vamos considerar um vetor qualquer (x, y) = alpha(1, -1) + beta(0, 2) em alpha cdot 1 + beta cdot 0 = x alpha cdot (-1) + beta cdot 2 = y . Para encontrar alpha = x , precisamos expressar - x + 2beta = y implies 2beta = x + y implies beta = x + y2 em termos da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 4
Agora que temos [T(x, y)]B2 = [T]B1^B2 alpha beta = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 x x + y2 e [T(x, y)]B2 = 1 cdot x + 0 cdot x + y2 1 cdot x + 1 cdot x + y2 0 cdot x + (-1) cdot x + y2 = x x + x + y2 - x + y2 , podemos usar a matriz [T(x, y)]B2 = x 3x + y2 - x + y2 para encontrar as coordenadas de na base .